Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
.
Informações dadas:
é função de duas variáveis
e
.
O argumento do logaritmo é .
Domínio implícito (importante): o logaritmo natural está definido quando o argumento é positivo, ou seja .
As perguntas específicas são:
e
.
O argumento do logaritmo é
Domínio implícito (importante): o logaritmo natural está definido quando o argumento é positivo, ou seja
As perguntas específicas são:
Passo 2
O que é derivada parcial?
A derivada parcial de em relação a
é a taxa de variação de
quando só
varia e
fica fixo. Analogamente, a derivada parcial em relação a
é a taxa de variação quando só
varia e
fica fixo.
A derivada parcial de
Exemplo mini: se
, então
porque ao derivar em
tratamos
como constante.
Passo 3
Regra que vamos usar (cadeia + derivada do logaritmo): se
então, pela regra da cadeia,
e
Aqui
. A ideia: derivar o ln como
e multiplicar pela derivada do interior
em relação à variável escolhida.
Passo 4
Calcular
.
Defina
. Primeiro calculemos
:
porque ao diferenciar em
tratamos
como constante, e a derivada de
em relação a
é zero.
Aplicando a fórmula da cadeia:
Passo 5
Calcular
.
Novamente
. Agora calculemos
:
porque ao diferenciar em
o termo
é constante (derivada zero) e a derivada de
é
.
Aplicando a fórmula da cadeia:
Passo 6
Observação final útil para prova: mantenha em mente a condição de existência
ao avaliar essas derivadas em pontos específicos. Se precisar simplificar, às vezes é conveniente fatorar um
, mas as formas obtidas já são claras e corretas.