Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações relevantes que temos:
- A função está escrita em termos de
e . - A expressão dentro da raiz quadrada é
, logo a função só está definida quando .
As respostas pedidas sãoe .
Passo 2
O que significa calcular uma derivada parcial?
- Para
diferencia-se em relação a mantendo fixo (constante). Formalmente,
mas, na prática, trata-se de derivar como se
fosse uma constante qualquer.
- Para
procede-se de forma análoga, mantendo fixo.
Passo 3
Identificar uma forma conveniente para derivar: escrever a função como uma composição. Defina
Usaremos a regra da cadeia (no contexto de parciais): se
com
, então
Aqui
, isto é,
Passo 4
Calcular
e
. Como
:
porque
é tratado como constante ao derivar em
, e
é tratado como constante ao derivar em
.
Passo 5
Agora aplicar a regra da cadeia para
.
Usando e
, obtemos
Usando
Voltando para
,
Observação importante: essa fórmula vale quando
. Se
a derivada explode (denominador zero) e, em geral, não existe derivada parcial naquele ponto.
Passo 6
Agora
. Usando
e
, tem-se
Substituindo
,
Novamente, válida para
; no caso
a expressão não é válida.
Passo 7
Pequeno exemplo numérico para fixar: em
temos
. Então
Isso mostra como aplicar as fórmulas na prova: calcule a expressão dentro da raiz, tome a raiz e divida conforme as fórmulas.