Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
f(x, y)=\sqrt{2 x+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=\sqrt{2x+y^{2}}.
Informações relevantes que temos:
  • A função está escrita em termos de x e y.
  • A expressão dentro da raiz quadrada é 2x+y^{2}, logo a função só está definida quando 2x+y^{2}\ge 0.
    As respostas pedidas são \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

O que significa calcular uma derivada parcial?
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x} diferencia-se f em relação a x mantendo y fixo (constante). Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h},
mas, na prática, trata-se de derivar como se y fosse uma constante qualquer.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y} procede-se de forma análoga, mantendo x fixo.

Passo 3

Identificar uma forma conveniente para derivar: escrever a função como uma composição. Defina
u(x,y)=2x+y^{2}, \qquad f(x,y)=\sqrt{u(x,y)} = u(x,y)^{1/2}.
Usaremos a regra da cadeia (no contexto de parciais): se f= g\circ u com g(t)=t^{1/2}, então
\frac{\partial f}{\partial x} = g'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = g'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui g'(t)=\dfrac{1}{2}t^{-1/2}, isto é,
g'(u)=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y}. Como u(x,y)=2x+y^{2}:
\frac{\partial u}{\partial x}=2, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=2y,
porque y^{2} é tratado como constante ao derivar em x, e 2x é tratado como constante ao derivar em y.

Passo 5

Agora aplicar a regra da cadeia para \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Usando g'(u)=\dfrac{1}{2}u^{-1/2} e \dfrac{\partial u}{\partial x}=2, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2}u^{-1/2}\cdot 2 = u^{-1/2}.
Voltando para u=2x+y^{2},
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2x+y^{2}}}.
Observação importante: essa fórmula vale quando 2x+y^{2}>0. Se 2x+y^{2}=0 a derivada explode (denominador zero) e, em geral, não existe derivada parcial naquele ponto.

Passo 6

Agora \dfrac{\partial f}{\partial y}. Usando g'(u)=\dfrac{1}{2}u^{-1/2} e \dfrac{\partial u}{\partial y}=2y, tem-se
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2}u^{-1/2}\cdot 2y = y\,u^{-1/2}.
Substituindo u=2x+y^{2},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{y}{\sqrt{2x+y^{2}}}.
Novamente, válida para 2x+y^{2}>0; no caso 2x+y^{2}=0 a expressão não é válida.

Passo 7

Pequeno exemplo numérico para fixar: em (x,y)=(1,1) temos 2x+y^{2}=2\cdot1+1^{2}=3. Então
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=\frac{1}{\sqrt{3}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Isso mostra como aplicar as fórmulas na prova: calcule a expressão dentro da raiz, tome a raiz e divida conforme as fórmulas.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2x+y^{2}}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{y}{\sqrt{2x+y^{2}}}

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