(Regras de derivação) Calcule as derivadas indicadas:
Determine os valores de x onde a reta tangente à curva y=x^{2}-6 x+5 é paralela à reta y=2 x-1.

Passo 1

O enunciado dá a curva y=x^{2}-6x+5 e pede: "determine os valores de x onde a reta tangente à curva é paralela à reta y=2x-1".
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é y(x)=x^{2}-6x+5.
  • A reta de referência é y=2x-1.
O que precisamos encontrar:
  • Os(s) valor(es) de x tal que a reta tangente à curva em x tenha o mesmo coeficiente angular (mesma inclinação) da reta y=2x-1.

Passo 2

Entendendo inclinação e tangente (em linguagem simples).
  • A reta y=2x-1 tem coeficiente angular (inclinação) igual a 2. Isto porque, numa reta na forma y=mx+b, o número m é a inclinação. Aqui m=2.
  • A reta tangente à curva em um ponto x tem inclinação dada pela derivada da função naquele ponto. Ou seja, se a derivada é y'(x_0), a inclinação da tangente em x_0 é y'(x_0).
Portanto, para que a tangente seja paralela à reta dada, precisamos que
y'(x)=2.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função y=x^{2}-6x+5. Vou explicar as regras que uso:
  • Regra do poder (power rule): a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Por exemplo, a derivada de x^{2} é 2x.
  • Derivada de constante vezes função: a derivada de a\cdot f(x) é a\cdot f'(x). Assim, a derivada de -6x é -6 vezes a derivada de x, e a derivada de x é 1.
  • Derivada de constante: a derivada de 5 é 0.
Aplicando termo a termo:
\frac{d}{dx}(x^{2})=2x,\qquad \frac{d}{dx}(-6x)=-6,\qquad \frac{d}{dx}(5)=0.
Portanto a derivada da função é
y'(x)=2x-6.

Passo 4

Agora impomos que a derivada seja igual a 2 (a inclinação da reta dada). Assim resolvemos a equação
2x-6=2.
Vou resolver passo a passo:
2x-6=2 \Longrightarrow 2x = 2+6 = 8 \Longrightarrow x=\frac{8}{2}=4.

Passo 5

Interpretação final e verificação rápida: a derivada é uma função linear y'(x)=2x-6. Ela só pode ser igual a 2 em um único x, que encontramos como x=4. Se desejarmos, podemos verificar calculando y'(4)=2\cdot4-6=8-6=2, confirmado.

Resposta

x=4

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