(Regras de derivação) Calcule as derivadas indicadas:
Determine os valores de
onde a reta tangente à curva
é paralela à reta
.
Determine os valores de
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede: "determine os valores de
onde a reta tangente à curva é paralela à reta
".
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - A reta de referência é
.
O que precisamos encontrar:
- Os(s) valor(es) de
tal que a reta tangente à curva em tenha o mesmo coeficiente angular (mesma inclinação) da reta .
Passo 2
Entendendo inclinação e tangente (em linguagem simples).
- A reta
tem coeficiente angular (inclinação) igual a . Isto porque, numa reta na forma , o número é a inclinação. Aqui . - A reta tangente à curva em um ponto
tem inclinação dada pela derivada da função naquele ponto. Ou seja, se a derivada é , a inclinação da tangente em é .
Portanto, para que a tangente seja paralela à reta dada, precisamos que
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
. Vou explicar as regras que uso:
- Regra do poder (power rule): a derivada de
é . Por exemplo, a derivada de é . - Derivada de constante vezes função: a derivada de
é . Assim, a derivada de é vezes a derivada de , e a derivada de é . - Derivada de constante: a derivada de
é .
Aplicando termo a termo:
Portanto a derivada da função é
Passo 4
Agora impomos que a derivada seja igual a
(a inclinação da reta dada). Assim resolvemos a equação
Vou resolver passo a passo:
Passo 5
Interpretação final e verificação rápida: a derivada é uma função linear
. Ela só pode ser igual a
em um único
, que encontramos como
. Se desejarmos, podemos verificar calculando
, confirmado.