(Regras de derivação) Calcule as derivadas indicadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada em relação a
da função
Informações dadas:
- A variável independente é
. - A função é uma soma de quatro termos:
, , e . - O que se quer é
aplicado a toda a expressão acima.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos o termo
numa forma de potência, que facilita o uso das regras:
Regras básicas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então . - Regra do coeficiente constante: a derivada de uma constante multiplicando uma função é o coeficiente vezes a derivada da função. Se
então . - Regra do expoente (power rule): para uma potência
, com real, vale
Isso significa: trazemos o expoente multiplicando e diminuímos o expoente em uma unidade. Exemplo rápido:
. Para expoentes negativos funciona igual:
.
- Derivada de constante: se
é constante, . - Derivada de termo linear:
, onde é constante.
Passo 3
Aplicamos as regras termo a termo (pela regra da soma):
Derivada do primeiro termo
:
(Usei a regra do expoente: o expoente
desce multiplicando e o novo expoente fica
.)
Derivada do segundo termo
:
(Aqui usei a regra do coeficiente constante e depois a regra da potência.)
Derivada do terceiro termo
:
(Como
.)
Derivada do quarto termo
:
(Constante tem derivada zero.)
Passo 4
Agora sabemos as derivadas de cada termo individualmente:
- primeira:
, - segunda:
, - terceira:
, - quarta:
.
Somando essas derivadas (regra da soma) obtemos a derivada da função original.