(Regras de derivação) Calcule as derivadas indicadas:
\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x^{2}}+4 x^{4}-3 x+5\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada em relação a x da função
f(x)=\frac{1}{x^{2}}+4x^{4}-3x+5.
Informações dadas:
  • A variável independente é x.
  • A função é uma soma de quatro termos: \dfrac{1}{x^{2}}, 4x^{4}, -3x e 5.
  • O que se quer é \dfrac{d}{dx} aplicado a toda a expressão acima.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos o termo \dfrac{1}{x^{2}} numa forma de potência, que facilita o uso das regras:
\frac{1}{x^{2}} = x^{-2}.
Regras básicas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x) então \dfrac{d}{dx}g(x)=u'(x)+v'(x).
  • Regra do coeficiente constante: a derivada de uma constante multiplicando uma função é o coeficiente vezes a derivada da função. Se h(x)=c\cdot u(x) então h'(x)=c\cdot u'(x).
  • Regra do expoente (power rule): para uma potência x^{n}, com n real, vale
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Isso significa: trazemos o expoente multiplicando e diminuímos o expoente em uma unidade. Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}x^{5}=5x^{4}. Para expoentes negativos funciona igual: \dfrac{d}{dx}x^{-2}=-2x^{-3}.
  • Derivada de constante: se c é constante, \dfrac{d}{dx}c=0.
  • Derivada de termo linear: \dfrac{d}{dx}(a x)=a, onde a é constante.

Passo 3

Aplicamos as regras termo a termo (pela regra da soma):
Derivada do primeiro termo \;x^{-2}:
\frac{d}{dx}x^{-2} = -2x^{-3}.
(Usei a regra do expoente: o expoente -2 desce multiplicando e o novo expoente fica -2-1=-3.)
Derivada do segundo termo \;4x^{4}:
\frac{d}{dx}(4x^{4}) = 4\cdot\frac{d}{dx}x^{4} = 4\cdot(4x^{3}) = 16x^{3}.
(Aqui usei a regra do coeficiente constante e depois a regra da potência.)
Derivada do terceiro termo \;-3x:
\frac{d}{dx}(-3x) = -3.
(Como \dfrac{d}{dx}(ax)=a.)
Derivada do quarto termo \;5:
\frac{d}{dx}5 = 0.
(Constante tem derivada zero.)

Passo 4

Agora sabemos as derivadas de cada termo individualmente:
  • primeira: -2x^{-3},
  • segunda: 16x^{3},
  • terceira: -3,
  • quarta: 0.
Somando essas derivadas (regra da soma) obtemos a derivada da função original.

Resposta

-\dfrac{2}{x^{3}}+16x^{3}-3

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