Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
u=x y sen^-1(y z)

Passo 1

O enunciado dá a função
u(x,y,z)=x,y,sen^-1(y z)
e pede as derivadas parciais de primeira ordem.
Conteúdo usado: regra do produto e regra da cadeia para funções compostas (no caso de sen^-1).

Passo 2

Para partial upartial x tratamos y e z como constantes. A única dependência de x está em x:
partial upartial x = partialpartial xl(xcdot ycdot sen^-1(y z)r) = y,sen^-1(y z)

Passo 3

Para partial upartial y usamos a regra do produto em xcdotl(ycdot sen^-1(y z)r). Note que x é constante, então
partial upartial y = x;partialpartial yl(y,sen^-1(y z)r)
Dentro da derivada, aplicamos produto em ycdotsen^-1(y z):
partialpartial yl(y,sen^-1(y z)r) =1cdot sen^-1(y z) + ycdot1raiz1-(y z)^2cdot z
Logo,
partial upartial y = x,sen^-1(y z) + x,y,zraiz1-(y z)^2

Passo 4

Para partial upartial z tratamos x e y como constantes e derivamos apenas sen^-1(y z) pela regra da cadeia:
partial upartial z = x,y;ddz!l(sen^-1(y z)r) = x,y;1raiz1-(y z)^2cdot y = x,y^2raiz1-(y z)^2

Resposta

partial upartial x = y,sen^-1(y z)
partial upartial y = x,sen^-1(y z) + x,y,zraiz1-(y z)^2
partial upartial z = x,y^2raiz1-(y z)^2

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