Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
F(x, y)=integraly^x cos (e^r) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função $ F(x, y) = \int_{y}^{x} \cos \left(e^{t}\right) dt $. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente as derivadas de integrais que dependem de variáveis nos limites de integração. Vamos precisar entender a regra de Leibniz para derivadas de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar uma derivada parcial. Como a função $ F $ depende de duas variáveis, $ x $ e $ y $, as derivadas parciais vão nos dizer como $ F $ muda quando apenas uma dessas variáveis muda, mantendo a outra fixa.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial de $ F $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial F}{\partial x} $. Para isso, usamos a regra de Leibniz, que nos diz que a derivada de uma integral com limite superior variável é simplesmente o integrando avaliado nesse limite.

Passo 4

Aplicando a regra, temos:
partial Fpartial x = cos(e^x)
Isso porque estamos derivando a integral em relação a $ x $, que é o limite superior, então substituímos $ t $ por $ x $ na função $ \cos(e^{t}) $.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ F $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial F}{\partial y} $. Novamente, usando a regra de Leibniz, mas agora para o limite inferior.

Passo 6

Quando derivamos em relação ao limite inferior, a derivada é o negativo do integrando avaliado nesse limite. Portanto:
partial Fpartial y = -cos(e^y)
Isso acontece porque, quando o limite inferior aumenta, a área da integral diminui, por isso o sinal negativo.

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função $ F(x, y) $ são:
F(x, y)
e
partial Fpartial x = cos(e^x)

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