Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função $ F(x, y) = \int_{y}^{x} \cos \left(e^{t}\right) dt $. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente as derivadas de integrais que dependem de variáveis nos limites de integração. Vamos precisar entender a regra de Leibniz para derivadas de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar uma derivada parcial. Como a função $ F $ depende de duas variáveis, $ x $ e $ y $, as derivadas parciais vão nos dizer como $ F $ muda quando apenas uma dessas variáveis muda, mantendo a outra fixa.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada parcial de $ F $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial F}{\partial x} $. Para isso, usamos a regra de Leibniz, que nos diz que a derivada de uma integral com limite superior variável é simplesmente o integrando avaliado nesse limite.
Passo 4
Aplicando a regra, temos:
Isso porque estamos derivando a integral em relação a $ x $, que é o limite superior, então substituímos $ t $ por $ x $ na função $ \cos(e^{t}) $.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ F $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial F}{\partial y} $. Novamente, usando a regra de Leibniz, mas agora para o limite inferior.
Passo 6
Quando derivamos em relação ao limite inferior, a derivada é o negativo do integrando avaliado nesse limite. Portanto:
Isso acontece porque, quando o limite inferior aumenta, a área da integral diminui, por isso o sinal negativo.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ F(x, y) $ são:
e