Determine a solução geral de cada uma das equações abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessas equações usando o método dos coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Agora, temos uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
O próximo passo é encontrar a equação característica associada a essa equação diferencial. Para isso, substituímos
por
,
por
e
por 1:
Passo 4
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, os valores de
são
e
.
Passo 5
Como encontramos dois valores de
distintos e reais, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
e
são constantes arbitrárias, e
e
são os valores que encontramos.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: