Determine a solução geral de cada uma das equações abaixo:
2 y^prime prime-4 y^prime-2 y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: 2 y'' - 4 y' - 2 y = 0. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessas equações usando o método dos coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
y'' - 2 y' - y = 0
Agora, temos uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

O próximo passo é encontrar a equação característica associada a essa equação diferencial. Para isso, substituímos y'' por r^2, y' por r e y por 1:
r^2 - 2 r - 1 = 0

Passo 4

Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-1)2 cdot 1 = 2 pm raiz4 + 42 = 2 pm raiz82 = 2 pm 2raiz22 = 1 pm raiz2
Então, os valores de r são 1 + raiz2 e 1 - raiz2.

Passo 5

Como encontramos dois valores de r distintos e reais, a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias, e r1 e r2 são os valores que encontramos.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^(1 + raiz2)x + C2 e^(1 - raiz2)x

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