Determine a solução de cada um dos PVI abaixo:

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI de segunda ordem não-homogênea
Conteúdo: EDO linear com coeficientes constantes e condição inicial
Vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea, um particular por coeficientes indeterminados e depois ajustar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, a parte homogênea: consideramos
y''+2y'+y=0
A equação característica é
r^2+2r+1=0
que tem raiz dupla r=-1. Logo a solução homogênea é
yh(t)=C1e^-t+C2te^-t

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular usando coeficientes indeterminados. Como o termo forçante é cos(2t), tentamos
yp(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)
Calculamos as derivadas:
yp'=-2Asin(2t)+2Bcos(2t),
yp''=-4Acos(2t)-4Bsin(2t)
Substituindo em y''+2y'+y=cos(2t) e agrupando termos, obtemos o sistema
-3A+4B=1,
-4A-3B=0
Resolvendo, achamos A=-tfrac325 e B=tfrac425.

Passo 4

A solução geral é
y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e^-t+C2te^-t-tfrac325cos(2t)+tfrac425sin(2t)
Aplicamos as condições iniciais:
y(0)=0implies C1-tfrac325=0implies C1=tfrac325,
y'(t)=(-C1+C2-C2t)e^-t-2Asin(2t)+2Bcos(2t)
e
y'(0)=0implies -C1+C2+2B=0implies -tfrac325+C2+tfrac825=0implies C2=-tfrac15

Resposta

y(t)=3-5t25e^-t-325cos(2t)+425sin(2t)

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