Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}-2} .

Passo 1

O enunciado pede explicitamente: "Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}-2}.
" Informação dada e ressalvas importantes que peguei do enunciado:
  • A função é f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}-2}.
  • Para que f seja real precisamos ter x^{2}+y^{2}-2\ge 0 (caso contrário a raiz quadrada de número negativo não é real).
    O que se pede: calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} (as derivadas parciais de primeira ordem).

Passo 2

Definição prática de derivada parcial (lembrando devagar, como numa prova): a derivada parcial de f em relação a x em um ponto (x_0,y_0) é o limite
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h},
ou seja, varia-se só x e mantém-se y fixo. Análogo para \dfrac{\partial f}{\partial y} variando y e fixando x.
Na prática, quando f é composta por funções conhecidas e suaves (como raiz quadrada e polinômios), usamos a regra da cadeia para calcular essas derivadas parciais de forma algébrica.

Passo 3

Vou aplicar a regra da cadeia. Primeiro faço a identificação da composição:
f(x,y)=\sqrt{u(x,y)}\quad\text{com}\quad u(x,y)=x^{2}+y^{2}-2.
A regra da cadeia diz (de forma didática): se f(x,y)=g(u(x,y)) com g diferenciável e u diferenciável, então
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{dg}{du}\bigg|_{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{dg}{du}\bigg|_{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui g(t)=\sqrt{t}=t^{1/2}. A derivada de g é
\frac{dg}{dt}=\frac{1}{2}t^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{t}} \quad (t>0).
Repare: essa fórmula need t>0 porque divide por \sqrt{t}. Portanto o cálculo algébrico vale quando u(x,y)>0, ou seja, quando x^{2}+y^{2}-2>0.

Passo 4

Agora calculo as derivadas de u:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+y^{2}-2\big)=2x,
porque y é tratado como constante ao derivar em relação a x. De forma parecida,
\frac{\partial u}{\partial y}=2y.

Passo 5

Aplico a regra da cadeia juntando as peças. Para \dfrac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{2\sqrt{u(x,y)}}\cdot 2x =\frac{x}{\sqrt{u(x,y)}}.
Substituindo u(x,y)=x^{2}+y^{2}-2 obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}-2}}.
Analogamente, para \dfrac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{2\sqrt{u(x,y)}}\cdot 2y =\frac{y}{\sqrt{u(x,y)}}
ou seja
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}-2}}.

Passo 6

Observações finais (muito importantes para a prova):
  • As fórmulas obtidas são válidas para pontos onde x^{2}+y^{2}-2>0 (dentro da região exterior ao círculo de raio \sqrt{2}). Nessa região o denominador é positivo e tudo é bem definido e suave.
  • Na fronteira onde x^{2}+y^{2}-2=0 (ou seja, sobre o círculo de raio \sqrt{2}) as derivadas parciais não existem em geral. Rápida explicação do porquê: na fronteira f toca zero e o quociente incremental ao variar x ou y comporta-se como \sqrt{|h|}/h ou |h|/h que não tende a um número finito único quando h\to 0. Assim não há derivada parcial bem definida nessa fronteira.
  • Em pontos onde x^{2}+y^{2}<2 a função nem é real, então não se fala em derivada real aí.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}-2}},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}-2}},
válidas para \;x^{2}+y^{2}-2>0.

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