Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}-2} .
Passo 1
O enunciado pede explicitamente: "Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}-2}.
" Informação dada e ressalvas importantes que peguei do enunciado:
A função é f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}-2}.
Para que f seja real precisamos ter x^{2}+y^{2}-2\ge 0 (caso contrário a raiz quadrada de número negativo não é real).
O que se pede: calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} (as derivadas parciais de primeira ordem).
Passo 2
Definição prática de derivada parcial (lembrando devagar, como numa prova): a derivada parcial de f em relação a x em um ponto (x_0,y_0) é o limite
ou seja, varia-se só x e mantém-se y fixo. Análogo para \dfrac{\partial f}{\partial y} variando y e fixando x.
Na prática, quando f é composta por funções conhecidas e suaves (como raiz quadrada e polinômios), usamos a regra da cadeia para calcular essas derivadas parciais de forma algébrica.
Passo 3
Vou aplicar a regra da cadeia. Primeiro faço a identificação da composição:
Observações finais (muito importantes para a prova):
As fórmulas obtidas são válidas para pontos onde x^{2}+y^{2}-2>0 (dentro da região exterior ao círculo de raio \sqrt{2}). Nessa região o denominador é positivo e tudo é bem definido e suave.
Na fronteira onde x^{2}+y^{2}-2=0 (ou seja, sobre o círculo de raio \sqrt{2}) as derivadas parciais não existem em geral. Rápida explicação do porquê: na fronteira f toca zero e o quociente incremental ao variar x ou y comporta-se como \sqrt{|h|}/h ou |h|/h que não tende a um número finito único quando h\to 0. Assim não há derivada parcial bem definida nessa fronteira.
Em pontos onde x^{2}+y^{2}<2 a função nem é real, então não se fala em derivada real aí.