Considere a função
Calcule:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada parcial de
em relação a
, isto é
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função depende de três variáveis
, e . - Quer-se a derivada parcial em relação a
, portanto e serão tratadas como constantes durante a diferenciação.
Passo 2
O que significa a derivada parcial
?
Definição via limite:
Definição via limite:
Intuitivamente, mede a taxa de variação de
quando só
varia, enquanto
e
ficam fixos. Na prática, usamos regras usuais de diferenciação (soma, produto, potência) tratando
e
como constantes multiplicativas.
Passo 3
Regra da soma: se
então
Aplicando isso aqui, separamos os termos:
Vamos calcular
e
separadamente.
Passo 4
Derivada do primeiro termo
.
Como e
são constantes, podemos enxergar
. A derivada de
em relação a
é
. Logo,
Como
Explicação didática: multiplica-se a constante
pela derivada de
, que é
.
Passo 5
Derivada do segundo termo
.
Aqui é constante e
é função de
. A regra da potência diz que
. Assim,
Aqui
Explicando: trate
como constante multiplicando o resultado da derivada de
.
Passo 6
Agora somamos os resultados obtidos:
Podemos também fatorar
se quisermos uma forma mais compacta:
Passo 7
Exemplo numérico rápido (para fixar): avalie a derivada parcial no ponto
. Usando
,
Isso significa que, naquele ponto, aumentando
um pouco (mantendo
fixos) a função cresce aproximadamente
vezes o incremento de
.