Considere a função
f(x, y, z)=x y z+x^{2} y
Calcule:
\frac{\partial f}{\partial x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x y z+x^{2} y
e pede para calcular a derivada parcial de f em relação a x, isto é \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função depende de três variáveis x, y e z.
  • Quer-se a derivada parcial em relação a x, portanto y e z serão tratadas como constantes durante a diferenciação.

Passo 2

O que significa a derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x}?
Definição via limite:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.
Intuitivamente, mede a taxa de variação de f quando só x varia, enquanto y e z ficam fixos. Na prática, usamos regras usuais de diferenciação (soma, produto, potência) tratando y e z como constantes multiplicativas.

Passo 3

Regra da soma: se f=g+h então
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial h}{\partial x}.
Aplicando isso aqui, separamos os termos:
f(x,y,z)=\underbrace{x y z}_{T_1}+\underbrace{x^{2} y}_{T_2}.
Vamos calcular \dfrac{\partial T_1}{\partial x} e \dfrac{\partial T_2}{\partial x} separadamente.

Passo 4

Derivada do primeiro termo T_1=x y z.
Como y e z são constantes, podemos enxergar T_1=(y z)\cdot x. A derivada de x em relação a x é 1. Logo,
\frac{\partial}{\partial x}(x y z)=y z \cdot \frac{d}{dx}(x)=y z.
Explicação didática: multiplica-se a constante y z pela derivada de x, que é 1.

Passo 5

Derivada do segundo termo T_2=x^{2} y.
Aqui y é constante e x^{2} é função de x. A regra da potência diz que \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x. Assim,
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2} y)=y\cdot \frac{d}{dx}(x^{2})=y\cdot(2x)=2xy.
Explicando: trate y como constante multiplicando o resultado da derivada de x^{2}.

Passo 6

Agora somamos os resultados obtidos:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x y z)+\frac{\partial}{\partial x}(x^{2} y)=y z + 2 x y.
Podemos também fatorar y se quisermos uma forma mais compacta:
\frac{\partial f}{\partial x}=y(z+2x).

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para fixar): avalie a derivada parcial no ponto (x,y,z)=(1,2,3). Usando \dfrac{\partial f}{\partial x}=y z+2 x y,
\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(1,2,3)}=2\cdot 3 + 2\cdot 1\cdot 2 = 6 + 4 = 10.
Isso significa que, naquele ponto, aumentando x um pouco (mantendo y,z fixos) a função cresce aproximadamente 10 vezes o incremento de x.

Resposta

\displaystyle y z + 2 x y

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