Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x, y)=x^{2} y^{3}+x y
Calcule:
f_{y x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}y^{3}+xy
e pede para calcular a derivada parcial mista \,f_{y x}\,.
Informações relevantes:
  • A função é um polinômio em x e y (portanto é suave e todas as derivadas parciais necessárias existem e são contínuas).
  • O objetivo é primeiro diferenciar f em relação a y (obter f_{y}) e depois diferenciar esse resultado em relação a x (obter f_{y x}).

Passo 2

Breve explicação do que é derivada parcial e as regras que vou usar:
  • A derivada parcial de f em relação a y, escrita \,f_{y}=\dfrac{\partial f}{\partial y}, é feita tratando x como constante e diferenciando apenas em relação a y.
  • Regras usadas:
    • Regra do poder: \dfrac{d}{dy}\bigl(y^{n}\bigr)=n\,y^{n-1}.
    • Constante fator fora da derivada: \dfrac{d}{dy}\bigl(c\cdot g(y)\bigr)=c\cdot g'(y) quando c é constante em relação a y.
    • Para um produto onde uma das partes não depende de y (por exemplo x\cdot y visto como x constante), \dfrac{\partial}{\partial y}(x\cdot y)=x\cdot \dfrac{d}{dy}(y)=x.

Passo 3

Calcular \,f_{y} passo a passo.
f(x,y)=x^{2}y^{3}+xy.
  • Para o termo \,x^{2}y^{3}: aqui x^{2} é constante quando diferenciamos em relação a y. Aplicando a regra do poder em y^{3},
\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)=x^{2}\cdot 3y^{2}=3x^{2}y^{2}.
  • Para o termo \,xy: x é constante, e \dfrac{d}{dy}(y)=1, logo
\dfrac{\partial}{\partial y}(xy)=x\cdot 1=x.
Somando os dois resultados,
f_{y}=3x^{2}y^{2}+x.

Passo 4

Agora calculo \,f_{y x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(f_{y}\bigr). Ou seja, diferenciamos f_{y} em relação a x, tratando y como constante.
f_{y}=3x^{2}y^{2}+x.
  • Para o termo \,3x^{2}y^{2}: aqui y^{2} é constante, e aplicando a regra do poder em x^{2},
\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y^{2}\bigr)=3\cdot 2x\cdot y^{2}=6xy^{2}.
  • Para o termo \,x: \dfrac{\partial}{\partial x}(x)=1.
    Somando,
f_{y x}=6xy^{2}+1.

Passo 5

Observação útil (para a prova): como f é polinomial (derivadas contínuas), vale o teorema de Clairaut (simetria das derivadas mistas), então \,f_{y x}=f_{x y}. Se quiser, pode verificar calculando primeiro f_{x} e depois f_{x y} e verá que dá o mesmo resultado 6xy^{2}+1.

Resposta

6xy^{2}+1

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