Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
Calcule:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada parcial mista
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é um polinômio em
e (portanto é suave e todas as derivadas parciais necessárias existem e são contínuas). - O objetivo é primeiro diferenciar
em relação a (obter ) e depois diferenciar esse resultado em relação a (obter ).
Passo 2
Breve explicação do que é derivada parcial e as regras que vou usar:
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , é feita tratando como constante e diferenciando apenas em relação a . - Regras usadas:
- Regra do poder:
. - Constante fator fora da derivada:
quando é constante em relação a . - Para um produto onde uma das partes não depende de
(por exemplo visto como constante), .
- Regra do poder:
Passo 3
Calcular
passo a passo.
- Para o termo
: aqui é constante quando diferenciamos em relação a . Aplicando a regra do poder em ,
- Para o termo
: é constante, e , logo
Somando os dois resultados,
Passo 4
Agora calculo
. Ou seja, diferenciamos
em relação a
, tratando
como constante.
- Para o termo
: aqui é constante, e aplicando a regra do poder em ,
- Para o termo
: .
Somando,
Passo 5
Observação útil (para a prova): como
é polinomial (derivadas contínuas), vale o teorema de Clairaut (simetria das derivadas mistas), então
. Se quiser, pode verificar calculando primeiro
e depois
e verá que dá o mesmo resultado
.