Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y, z)=\frac{\alpha x+\beta y^{2}}{\gamma z+\delta y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem de f em relação a x, y e z.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y,z)=\frac{\alpha x+\beta y^{2}}{\gamma z+\delta y^{2}}.
  • As letras \alpha,\beta,\gamma,\delta são constantes (parâmetros).
  • A função só está definida quando \gamma z+\delta y^{2}\neq 0.
    As quantidades que precisamos encontrar são \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z}.

Passo 2

Entendendo o que é derivada parcial (aulinha rápida e prática).
  • A derivada parcial de f em relação a uma variável (por exemplo x) mede como f muda quando apenas x varia e as outras variáveis ( y,z) ficam fixas.
  • Para funções que são quocientes, vamos usar a regra do quociente: se \displaystyle f=\frac{u}{v} com u e v dependendo das mesmas variáveis, então a derivada (parcial) de f em relação a uma variável t é
\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\frac{\partial u}{\partial t}\,v - u\,\frac{\partial v}{\partial t}}{v^{2}}.
Aqui \frac{\partial u}{\partial t} significa derivar u tratando as outras variáveis como constantes; mesma ideia para \frac{\partial v}{\partial t}.

Passo 3

Aplicando a ideia: defino o numerador e o denominador para usar a regra do quociente:
u(x,y,z)=\alpha x+\beta y^{2}, \qquad v(x,y,z)=\gamma z+\delta y^{2}.
Vou calcular as derivadas parciais de u e v em relação a cada variável, porque serão usadas na regra do quociente.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de u e v:
\frac{\partial u}{\partial x}=\alpha,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=2\beta y,\qquad \frac{\partial u}{\partial z}=0.
\frac{\partial v}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=2\delta y,\qquad \frac{\partial v}{\partial z}=\gamma.
Explicando: por exemplo \frac{\partial u}{\partial y} vem de derivar \beta y^{2} em relação a y, que dá 2\beta y; termos que não dependem da variável viram zero.

Passo 5

Derivada parcial em relação a x. Uso a regra do quociente com t=x:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\frac{\partial u}{\partial x}\,v - u\,\frac{\partial v}{\partial x}}{v^{2}} =\frac{\alpha\;v - u\cdot 0}{v^{2}} =\frac{\alpha v}{v^{2}} =\frac{\alpha}{v}.
Substituindo v:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\alpha}{\gamma z+\delta y^{2}}.
Interpretação rápida: como somente u depende linearmente de x (via \alpha x) e v não depende de x, a derivada parcial fica simples.

Passo 6

Derivada parcial em relação a y. Uso a regra do quociente com t=y:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\frac{\partial u}{\partial y}\,v - u\,\frac{\partial v}{\partial y}}{v^{2}} =\frac{(2\beta y)\,v - u\,(2\delta y)}{v^{2}}.
Coloco 2y em evidência no numerador:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{2y\big(\beta v - \delta u\big)}{v^{2}}.
Agora substituo u e v e observo uma simplificação útil:
\beta v - \delta u =\beta(\gamma z+\delta y^{2})-\delta(\alpha x+\beta y^{2}) =\beta\gamma z+\beta\delta y^{2}-\delta\alpha x-\delta\beta y^{2}.
Os termos \beta\delta y^{2} e -\delta\beta y^{2} se cancelam, restando
\beta v - \delta u = \beta\gamma z - \delta\alpha x.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{2y(\beta\gamma z - \delta\alpha x)}{(\gamma z+\delta y^{2})^{2}}.
Observação: esse cancelamento deixa a expressão bem mais simples do que parecia no início — sempre vale a pena tentar fatorar/expandir para ver cancelamentos.

Passo 7

Derivada parcial em relação a z. Uso a regra do quociente com t=z:
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{\frac{\partial u}{\partial z}\,v - u\,\frac{\partial v}{\partial z}}{v^{2}} =\frac{0\cdot v - u\cdot\gamma}{v^{2}} =-\frac{\gamma\,u}{v^{2}}.
Substituindo u e v:
\frac{\partial f}{\partial z}=-\frac{\gamma(\alpha x+\beta y^{2})}{(\gamma z+\delta y^{2})^{2}}.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\alpha}{\gamma z+\delta y^{2}}
\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{2y(\beta\gamma z-\delta\alpha x)}{(\gamma z+\delta y^{2})^{2}}
\dfrac{\partial f}{\partial z}=-\dfrac{\gamma(\alpha x+\beta y^{2})}{(\gamma z+\delta y^{2})^{2}}

Exercícios relacionados