Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem de
em relação a
,
e
.
Informações dadas:
- A função é
- As letras
são constantes (parâmetros). - A função só está definida quando
.
As quantidades que precisamos encontrar são, e .
Passo 2
Entendendo o que é derivada parcial (aulinha rápida e prática).
- A derivada parcial de
em relação a uma variável (por exemplo ) mede como muda quando apenas varia e as outras variáveis ( ) ficam fixas. - Para funções que são quocientes, vamos usar a regra do quociente: se
com e dependendo das mesmas variáveis, então a derivada (parcial) de em relação a uma variável é
Aqui
significa derivar
tratando as outras variáveis como constantes; mesma ideia para
.
Passo 3
Aplicando a ideia: defino o numerador e o denominador para usar a regra do quociente:
Vou calcular as derivadas parciais de
e
em relação a cada variável, porque serão usadas na regra do quociente.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e
:
Explicando: por exemplo
vem de derivar
em relação a
, que dá
; termos que não dependem da variável viram zero.
Passo 5
Derivada parcial em relação a
. Uso a regra do quociente com
:
Substituindo
:
Interpretação rápida: como somente
depende linearmente de
(via
) e
não depende de
, a derivada parcial fica simples.
Passo 6
Derivada parcial em relação a
. Uso a regra do quociente com
:
Coloco
em evidência no numerador:
Agora substituo
e
e observo uma simplificação útil:
Os termos
e
se cancelam, restando
Portanto
Observação: esse cancelamento deixa a expressão bem mais simples do que parecia no início — sempre vale a pena tentar fatorar/expandir para ver cancelamentos.
Passo 7
Derivada parcial em relação a
. Uso a regra do quociente com
:
Substituindo
e
: