Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem: isto é, calcular
e
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A função é uma composição: uma expressão interna
elevada à potência . - Nas derivadas parciais vamos tratar uma variável como variável e a outra como constante (por exemplo, ao derivar em relação a
consideramos constante).
Passo 2
Estratégia e regras que vou usar (explicadas passo a passo, sem assumir conhecimento prévio):
- Regra da potência (uma aula rápida): se
é uma função de uma variável e com constante, então a derivada de em relação a é
Exemplo simples: se
então
.
- Regra da cadeia (explicação didática): quando temos uma função composta
, a variação de em relação a uma variável (por exemplo ) se obtém multiplicando a derivada de em relação à sua entrada pela derivada parcial de em relação a . Em fórmulas:
No nosso caso
, então
. Logo, para qualquer variável
,
onde
.
Passo 3
Calcular
. Lembrando: ao derivar parcialmente em relação a
tratamos
como constante.
A função interna é
.
- A derivada parcial de
em relação a : como é constante, e a derivada de é . Logo . - A derivada parcial de
em relação a é (não depende de ).
Portanto
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia para obter
.
Usando a fórmula do passo 2:
Substituindo
e
, obtemos
Simplificando o fator
dá
Passo 5
Calcular
. Agora ao derivar parcialmente em relação a
tratamos
como constante.
Para
:
- A derivada parcial de
em relação a é (pois é constante multiplicando ). - A derivada parcial de
em relação a é .
Portanto
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia para obter
.
Usando a fórmula do passo 2:
Substituindo
e
, obtemos
Passo 7
Comentário prático rápido para a prova (dica amiga): uma forma alternativa de ver a expressão interna é fatorar
:
. Isso às vezes ajuda a identificar fatores comuns ao simplificar ou ao avaliar em pontos (por exemplo, quando
tudo zera). Mas a forma final das derivadas que obtivemos está correta e é direta de aplicar em exercícios.