Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y)=\left(x^{2} y-y^{3}\right)^{5}\

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y)=\bigl(x^{2}y-y^{3}\bigr)^{5}\, e pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem: isto é, calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Informações relevantes que temos:
  • A função é uma composição: uma expressão interna \,g(x,y)=x^{2}y-y^{3}\, elevada à potência \,5.
  • Nas derivadas parciais vamos tratar uma variável como variável e a outra como constante (por exemplo, ao derivar em relação a x consideramos y constante).

Passo 2

Estratégia e regras que vou usar (explicadas passo a passo, sem assumir conhecimento prévio):
  1. Regra da potência (uma aula rápida): se u é uma função de uma variável e h(u)=u^{n} com n constante, então a derivada de h em relação a u é
\frac{d}{du}\bigl(u^{n}\bigr)=n\,u^{\,n-1}.
Exemplo simples: se h(u)=u^{5} então \dfrac{dh}{du}=5u^{4}.
  1. Regra da cadeia (explicação didática): quando temos uma função composta f(x,y) = H\bigl(g(x,y)\bigr), a variação de f em relação a uma variável (por exemplo x) se obtém multiplicando a derivada de H em relação à sua entrada g pela derivada parcial de g em relação a x. Em fórmulas:
\frac{\partial}{\partial x}H\bigl(g(x,y)\bigr)=H'\bigl(g(x,y)\bigr)\cdot\frac{\partial g}{\partial x}.
No nosso caso H(u)=u^{5}, então H'(u)=5u^{4}. Logo, para qualquer variável t\in\{x,y\},
\frac{\partial f}{\partial t}=5\bigl(g(x,y)\bigr)^{4}\cdot\frac{\partial g}{\partial t},
onde \,g(x,y)=x^{2}y-y^{3}.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial g}{\partial x}. Lembrando: ao derivar parcialmente em relação a x tratamos y como constante.
A função interna é \,g(x,y)=x^{2}y-y^{3}.
  • A derivada parcial de x^{2}y em relação a x: como y é constante, x^{2}y=y\cdot x^{2} e a derivada de x^{2} é 2x. Logo \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y\bigr)=2x\,y.
  • A derivada parcial de -y^{3} em relação a x é 0 (não depende de x).
Portanto
\frac{\partial g}{\partial x}=2x\,y.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Usando a fórmula do passo 2:
\frac{\partial f}{\partial x}=5\bigl(g(x,y)\bigr)^{4}\cdot\frac{\partial g}{\partial x}.
Substituindo g(x,y)=x^{2}y-y^{3} e \dfrac{\partial g}{\partial x}=2x\,y, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=5\bigl(x^{2}y-y^{3}\bigr)^{4}\cdot(2x\,y).
Simplificando o fator 5\cdot 2
\frac{\partial f}{\partial x}=10\,x\,y\bigl(x^{2}y-y^{3}\bigr)^{4}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial g}{\partial y}. Agora ao derivar parcialmente em relação a y tratamos x como constante.
Para g(x,y)=x^{2}y-y^{3}:
  • A derivada parcial de x^{2}y em relação a y é x^{2} (pois x^{2} é constante multiplicando y).
  • A derivada parcial de -y^{3} em relação a y é -3y^{2}.
Portanto
\frac{\partial g}{\partial y}=x^{2}-3y^{2}.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Usando a fórmula do passo 2:
\frac{\partial f}{\partial y}=5\bigl(g(x,y)\bigr)^{4}\cdot\frac{\partial g}{\partial y}.
Substituindo g(x,y)=x^{2}y-y^{3} e \dfrac{\partial g}{\partial y}=x^{2}-3y^{2}, obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}=5\bigl(x^{2}y-y^{3}\bigr)^{4}\cdot\bigl(x^{2}-3y^{2}\bigr).

Passo 7

Comentário prático rápido para a prova (dica amiga): uma forma alternativa de ver a expressão interna é fatorar y: \,x^{2}y-y^{3}=y(x^{2}-y^{2}). Isso às vezes ajuda a identificar fatores comuns ao simplificar ou ao avaliar em pontos (por exemplo, quando y=0 tudo zera). Mas a forma final das derivadas que obtivemos está correta e é direta de aplicar em exercícios.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=10\,x\,y\bigl(x^{2}y-y^{3}\bigr)^{4}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=5\bigl(x^{2}-3y^{2}\bigr)\bigl(x^{2}y-y^{3}\bigr)^{4}

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