Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y)=\frac{e^{x}}{y+x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função \,f(x,y)=\dfrac{e^{x}}{y+x^{2}}\,.
Informações e o que precisa ser encontrado:
  • A função dada é \,f(x,y)=\dfrac{e^{x}}{y+x^{2}}\,.
  • Devem ser encontradas \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).
  • Observação sobre domínio: o denominador não pode ser zero, ou seja \,y+x^{2}\neq0\, (essa condição é necessária para que f esteja bem definida).

Passo 2

O que é uma derivada parcial (lembrete rápido e prático):
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede a taxa de variação de f quando x muda e y fica fixo. Formalmente,
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
  • A derivada parcial em relação a y é análoga, agora mantendo x fixo:
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Na prática, para calcular, tratamos a outra variável como constante e aplicamos as regras usuais de derivação (produto, cadeia, quociente, etc.).

Passo 3

Escolha do método prático: reescrever \,f como produto facilita. Escreve-se
f(x,y)=e^{x}\,(y+x^{2})^{-1}.
Para \dfrac{\partial f}{\partial x} usaremos a regra do produto e a regra da cadeia. A regra do produto: se u(x)=u e v(x)=v então
\frac{d}{dx}(u\,v)=u'\,v+u\,v'.
A regra da cadeia para uma função composta g(h(x)) diz que
\frac{d}{dx}g(h(x))=g'(h(x))\cdot h'(x).

Passo 4

Cálculo detalhado de \dfrac{\partial f}{\partial x}:
  • Identificamos u(x,y)=e^{x} e v(x,y)=(y+x^{2})^{-1}. Ao derivar em relação a x tratamos y como constante.
  • Derivada de u em relação a x: \dfrac{\partial}{\partial x}e^{x}=e^{x}.
  • Derivada de v em relação a x usando regra da cadeia: v=(y+x^{2})^{-1} então
\dfrac{\partial v}{\partial x}=-1\cdot (y+x^{2})^{-2}\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(y+x^{2}).
Como \dfrac{\partial}{\partial x}(y+x^{2})=2x (lembre: y é constante aqui), obtemos
\dfrac{\partial v}{\partial x}=-2x\,(y+x^{2})^{-2}.
  • Agora aplicando a regra do produto:
\dfrac{\partial f}{\partial x}= \underbrace{e^{x}}_{u'}\cdot (y+x^{2})^{-1} + e^{x}\cdot\big(-2x\,(y+x^{2})^{-2}\big).
  • Colocando em um denominador comum (y+x^{2})^{2} para simplificar:
\dfrac{\partial f}{\partial x} = \frac{e^{x}(y+x^{2}) - 2x\,e^{x}}{(y+x^{2})^{2}} = \frac{e^{x}\big(y+x^{2}-2x\big)}{(y+x^{2})^{2}}.
Essa é uma forma compacta e correta da derivada parcial em relação a x.

Passo 5

Comentário sobre método alternativo: poderia-se também usar a regra do quociente diretamente em \dfrac{e^{x}}{y+x^{2}}. A regra do quociente dá o mesmo resultado; optei pelo produto com a forma (y+x^{2})^{-1} porque a aplicação da cadeia fica bem direta e as contas são limpas em prova.

Passo 6

Cálculo detalhado de \dfrac{\partial f}{\partial y}:
  • Agora derivamos em relação a y tratando x como constante.
  • Na forma f(x,y)=e^{x}(y+x^{2})^{-1}, e^{x} é constante (porque estamos fixando x), então a derivada é
\dfrac{\partial f}{\partial y}= e^{x}\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}\big((y+x^{2})^{-1}\big).
  • Aplicando a regra da cadeia: \dfrac{\partial}{\partial y}(y+x^{2})^{-1}=-1\cdot (y+x^{2})^{-2}\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(y+x^{2}). Como \dfrac{\partial}{\partial y}(y+x^{2})=1, obtemos
\dfrac{\partial f}{\partial y}= e^{x}\cdot\big(- (y+x^{2})^{-2}\big)= -\frac{e^{x}}{(y+x^{2})^{2}}.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{e^{x}\big(y+x^{2}-2x\big)}{(y+x^{2})^{2}}
\dfrac{\partial f}{\partial y}=-\dfrac{e^{x}}{(y+x^{2})^{2}}

Exercícios relacionados