Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função. f(x, y)=\frac{e^{x}}{y+x^{2}}\
Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função \,f(x,y)=\dfrac{e^{x}}{y+x^{2}}\,.
Informações e o que precisa ser encontrado:
A função dada é \,f(x,y)=\dfrac{e^{x}}{y+x^{2}}\,.
Devem ser encontradas \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).
Observação sobre domínio: o denominador não pode ser zero, ou seja \,y+x^{2}\neq0\, (essa condição é necessária para que f esteja bem definida).
Passo 2
O que é uma derivada parcial (lembrete rápido e prático):
A derivada parcial de f em relação a x, escrita \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede a taxa de variação de f quando x muda e y fica fixo. Formalmente,
Essa é uma forma compacta e correta da derivada parcial em relação a x.
Passo 5
Comentário sobre método alternativo: poderia-se também usar a regra do quociente diretamente em \dfrac{e^{x}}{y+x^{2}}. A regra do quociente dá o mesmo resultado; optei pelo produto com a forma (y+x^{2})^{-1} porque a aplicação da cadeia fica bem direta e as contas são limpas em prova.
Passo 6
Cálculo detalhado de \dfrac{\partial f}{\partial y}:
Agora derivamos em relação a y tratando x como constante.
Na forma f(x,y)=e^{x}(y+x^{2})^{-1}, e^{x} é constante (porque estamos fixando x), então a derivada é
Aplicando a regra da cadeia: \dfrac{\partial}{\partial y}(y+x^{2})^{-1}=-1\cdot (y+x^{2})^{-2}\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(y+x^{2}). Como \dfrac{\partial}{\partial y}(y+x^{2})=1, obtemos