Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
g(x, y)=y(x+x^2 y)^5

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função g(x,y)=yl(x+x^2yr)^5. O conteúdo é derivada parcial, e vamos precisar usar a regra do produto (pois g é produto de y por outra função) e a regra da cadeia (para a potência de função interna).

Passo 2

Definimos U(x,y)=x+x^2y, de modo que g(x,y)=y,U^5. Para calcular partial gpartial x, aplicamos a regra do produto em y e U^5 considerando y como constante no derivar em relação a x, e depois a regra da cadeia em U^5:
partial gpartial x=ycdot 5U^4cdot partial Upartial x
Como U=x+x^2y, temos
partial Upartial x=1+2xy
Substituindo, obtemos
partial gpartial x=5y,(1+2xy),(x+x^2y)^4

Passo 3

Para partial gpartial y, agora tratamos x como constante. Usamos novamente a regra do produto em y e U^5, e a regra da cadeia em U^5:
partial gpartial y=1cdot U^5 + ycdot 5U^4cdot partial Upartial y
Como partial Upartial y=x^2, segue
partial gpartial y=(x+x^2y)^5 +5y,x^2,(x+x^2y)^4

Passo 4

Podemos fatorar (x+x^2y)^4 em partial gpartial y para escrever de forma mais enxuta:
partial gpartial y=(x+x^2y)^4l[(x+x^2y)+5x^2yr] =(x+x^2y)^4,(x+6x^2y)

Resposta

As derivadas parciais são
partial gpartial x=5y,(1+2xy),(x+x^2y)^4,
partial gpartial y=(x+x^2y)^4,(x+6x^2y)

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