Seja f(x, y)= (x^2+y^2) sen(1x^2+y^2) & ,(x, y) neq(0,0), 0 & ,(x, y)=(0,0)
Mostre que f é uma função diferenciável em R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(x, y) definida de um jeito diferente quando (x, y) é igual a (0,0) e quando é diferente. O exercício pede para mostrar que essa função é diferenciável em todo o plano R^2. Diferenciabilidade é um conceito de cálculo que, basicamente, diz que a função tem uma boa aproximação linear em torno de cada ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites, derivadas parciais e o que significa uma função ser diferenciável em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que uma função f(x, y) é diferenciável em um ponto (a, b). Isso quer dizer que a função pode ser bem aproximada por um plano tangente naquele ponto. Matematicamente, isso se traduz na existência das derivadas parciais de f em (a, b) e no fato de que:
lim(h, k) to (0, 0) f(a+h, b+k) - f(a, b) - fx(a, b)h - fy(a, b)kraizh^2 + k^2 = 0
Aqui, fx e fy são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente.

Passo 3

Vamos focar no ponto onde a função pode ter problemas de diferenciabilidade, que é (0, 0). Para os outros pontos, a função é composta por funções diferenciáveis básicas, então está tudo certo. Então, nosso objetivo é mostrar que f é diferenciável em (0, 0).

Passo 4

Primeiro, vamos verificar se as derivadas parciais de f existem em (0, 0). Vamos calcular fx(0, 0) e fy(0, 0) usando a definição de derivada parcial.
A definição da derivada parcial em x no ponto (0, 0) é:
fx(0, 0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0, 0)h
Vamos calcular f(h, 0):
Para (h, 0) neq (0, 0),
f(h, 0) = (h^2 + 0^2) sin(1h^2 + 0^2) = h^2 sin(1h^2)
Então,
fx(0, 0) = limh to 0 h^2 sin(1h^2) - 0h = limh to 0 h sin(1h^2)
Como |sin(theta)| <= 1, temos:
|h sin(1h^2)| <= |h|
E limh to 0 |h| = 0, então pelo Teorema do Squeeze,
limh to 0 h sin(1h^2) = 0
Portanto, fx(0, 0) = 0. Do mesmo jeito, podemos mostrar que fy(0, 0) = 0.

Passo 5

Agora que sabemos que as derivadas parciais existem em (0, 0) e são iguais a zero, vamos verificar a condição de diferenciabilidade. Precisamos mostrar que:
lim(h, k) to (0, 0) f(h, k) - f(0, 0) - fx(0, 0)h - fy(0, 0)kraizh^2 + k^2 = 0
Como f(0, 0) = 0 e fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0, a expressão simplifica para:
lim(h, k) to (0, 0) f(h, k)raizh^2 + k^2
Substituindo a definição de f(h, k) para (h, k) neq (0, 0):
lim(h, k) to (0, 0) (h^2 + k^2) sin(1h^2 + k^2)raizh^2 + k^2 = lim(h, k) to (0, 0) raizh^2 + k^2 cdot sin(1h^2 + k^2)

Passo 6

Vamos analisar o limite:
limr to 0 r cdot sin(1r^2)
Aqui, usamos coordenadas polares onde r = raizh^2 + k^2. Sabemos que |sin(theta)| <= 1, então:
|r cdot sin(1r^2)| <= |r|
E sabemos que limr to 0 |r| = 0. Portanto, pelo Teorema do Squeeze,
limr to 0 r cdot sin(1r^2) = 0

Resposta

Assim, concluímos que a função f é diferenciável em R^2.

Exercícios relacionados