Seja
Mostre que
é uma função diferenciável em
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida de um jeito diferente quando
é igual a
e quando é diferente. O exercício pede para mostrar que essa função é diferenciável em todo o plano
. Diferenciabilidade é um conceito de cálculo que, basicamente, diz que a função tem uma boa aproximação linear em torno de cada ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites, derivadas parciais e o que significa uma função ser diferenciável em duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que uma função
é diferenciável em um ponto
. Isso quer dizer que a função pode ser bem aproximada por um plano tangente naquele ponto. Matematicamente, isso se traduz na existência das derivadas parciais de
em
e no fato de que:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos focar no ponto onde a função pode ter problemas de diferenciabilidade, que é
. Para os outros pontos, a função é composta por funções diferenciáveis básicas, então está tudo certo. Então, nosso objetivo é mostrar que
é diferenciável em
.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar se as derivadas parciais de
existem em
. Vamos calcular
e
usando a definição de derivada parcial.
A definição da derivada parcial em
no ponto
é:
Vamos calcular
:
Para
,
Então,
Como
, temos:
E
, então pelo Teorema do Squeeze,
Portanto,
. Do mesmo jeito, podemos mostrar que
.
Passo 5
Agora que sabemos que as derivadas parciais existem em
e são iguais a zero, vamos verificar a condição de diferenciabilidade. Precisamos mostrar que:
Como
e
, a expressão simplifica para:
Substituindo a definição de
para
:
Passo 6
Vamos analisar o limite:
Aqui, usamos coordenadas polares onde
. Sabemos que
, então:
E sabemos que
. Portanto, pelo Teorema do Squeeze,
Resposta
Assim, concluímos que a função
é diferenciável em
.