Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de primeira ordem: isto é, calcular
,
e
.
Informações relevantes que temos (úteis para a resolução):
- A função é uma composta: um logaritmo natural aplicado à função interna
. - Para que
esteja definida, é necessário que . As derivadas parciais só fazem sentido nesse domínio (onde o argumento do é positivo).
Passo 2
Vou lembrar o que é derivada parcial e a regra que vamos usar (tudo bem explicado, passo a passo).
Definição intuitiva:
- A derivada parcial de
em relação a , , é a taxa de variação de quando apenas varia e ficam fixos. O mesmo vale para as outras variáveis.
Regra para compostas (regra da cadeia):
- Se
, então, pela regra da cadeia,
porque a derivada da função externa
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada parcial da função interna
em relação a
.
- Mesma ideia para as derivadas em relação a
e :
Passo 3
Identificar a função interna e calcular suas derivadas parciais.
Definimos
Agora calculo as derivadas parciais de
:
- Derivada parcial em relação a
: aqui e são constantes. A derivada de é . A derivada de em relação a é . Os termos com e são constantes em e derivam . Portanto,
- Derivada parcial em relação a
: análogo ao caso de . A derivada de em relação a é , e os outros termos são constantes. Logo,
- Derivada parcial em relação a
: a derivada de em relação a é , os demais termos são constantes. Então
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia para obter
.
Usando
e os resultados do passo anterior,
Explicação curta do porquê: a variação de
multiplica pela variação interna; como a parte interna decresce com
(quando
), o sinal da derivada é negativo via o fator
.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para obter
.
Analogamente,
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia para obter
.
Analogamente,
Passo 7
Observações finais rápidas (úteis para a prova):
- Sempre verifique o domínio: as expressões das derivadas têm denominador
; portanto as derivadas só são válidas quando . - Método geral para problemas parecidos: identificar a função interna
, calcular suas parciais, e multiplicar por quando a externa for . Isso funciona sempre que a externa for .