Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y, z)=\ln \left(16-4 x^{2}-4 y^{2}-z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=\ln\!\bigl(16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2}\bigr)
e pede as derivadas parciais de primeira ordem: isto é, calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z}.
Informações relevantes que temos (úteis para a resolução):
  • A função é uma composta: um logaritmo natural aplicado à função interna g(x,y,z)=16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2}.
  • Para que f esteja definida, é necessário que 16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2}>0. As derivadas parciais só fazem sentido nesse domínio (onde o argumento do \ln é positivo).

Passo 2

Vou lembrar o que é derivada parcial e a regra que vamos usar (tudo bem explicado, passo a passo).
Definição intuitiva:
  • A derivada parcial de f em relação a x, \dfrac{\partial f}{\partial x}, é a taxa de variação de f quando apenas x varia e y,z ficam fixos. O mesmo vale para as outras variáveis.
Regra para compostas (regra da cadeia):
  • Se f(x,y,z)=\ln\!\bigl(g(x,y,z)\bigr), então, pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{g(x,y,z)}\cdot\frac{\partial g}{\partial x},
porque a derivada da função externa \ln(u) em relação a u é \dfrac{1}{u}, e depois multiplicamos pela derivada parcial da função interna g em relação a x.
  • Mesma ideia para as derivadas em relação a y e z:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{g}\cdot\frac{\partial g}{\partial y},\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{1}{g}\cdot\frac{\partial g}{\partial z}.

Passo 3

Identificar a função interna e calcular suas derivadas parciais.
Definimos
g(x,y,z)=16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2}.
Agora calculo as derivadas parciais de g:
  • Derivada parcial em relação a x: aqui y e z são constantes. A derivada de 16 é 0. A derivada de -4x^{2} em relação a x é -4\cdot 2x=-8x. Os termos com y e z são constantes em x e derivam 0. Portanto,
\frac{\partial g}{\partial x}=-8x.
  • Derivada parcial em relação a y: análogo ao caso de x. A derivada de -4y^{2} em relação a y é -8y, e os outros termos são constantes. Logo,
\frac{\partial g}{\partial y}=-8y.
  • Derivada parcial em relação a z: a derivada de -z^{2} em relação a z é -2z, os demais termos são constantes. Então
\frac{\partial g}{\partial z}=-2z.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Usando \dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{1}{g}\cdot\dfrac{\partial g}{\partial x} e os resultados do passo anterior,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2}}\cdot(-8x) =\frac{-8x}{16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2}}.
Explicação curta do porquê: a variação de \ln multiplica pela variação interna; como a parte interna decresce com x (quando x>0), o sinal da derivada é negativo via o fator -8x.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Analogamente,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2}}\cdot(-8y) =\frac{-8y}{16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2}}.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial f}{\partial z}.
Analogamente,
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{1}{16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2}}\cdot(-2z) =\frac{-2z}{16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2}}.

Passo 7

Observações finais rápidas (úteis para a prova):
  • Sempre verifique o domínio: as expressões das derivadas têm denominador 16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2}; portanto as derivadas só são válidas quando 16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2}>0.
  • Método geral para problemas parecidos: identificar a função interna g, calcular suas parciais, e multiplicar por 1/g quando a externa for \ln. Isso funciona sempre que a externa for \ln.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{-8x}{16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{-8y}{16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{-2z}{16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2}}

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