Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y, z)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}.
Informações e perguntas claras:
  • Função dada: f(x,y,z)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}.
  • A tarefa é achar as três derivadas parciais de primeira ordem: \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z}.
  • Observação importante sobre domínio (isso vem do próprio enunciado da função): o radicando precisa ser não-negativo para f ser real, ou seja, 1-x^{2}-y^{2}-z^{2}\ge 0. Para as derivadas eliminamos o caso em que o denominador vira zero (veja passos posteriores).

Passo 2

O que é uma derivada parcial (explicação didática): a derivada parcial de f em relação a, por exemplo, x mede a taxa de variação de f quando apenas x varia e as outras variáveis y e z são mantidas fixas. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.
Na prática de prova é mais prático usar regras de diferenciação (cadeia, potência, soma, etc.), tratando y e z como constantes quando derivamos em relação a x.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia — preparo: é útil escrever a função como composição. Defina
u(x,y,z)=1-x^{2}-y^{2}-z^{2},
então
f(x,y,z)=\sqrt{u}=u^{1/2}.
A derivada de u^{1/2} em relação a u (regra da potência) é
\frac{d}{du}\bigl(u^{1/2}\bigr)=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Pela regra da cadeia, ao derivar f em relação a x temos
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{d}{du}\bigl(u^{1/2}\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x} (tratando y e z como constantes):
u(x,y,z)=1-x^{2}-y^{2}-z^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial x}=-2x.
Substituindo em \dfrac{\partial f}{\partial x} do passo anterior:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot(-2x).

Passo 5

Simplificar a expressão obtida:
\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{2x}{2\sqrt{u}}=-\frac{x}{\sqrt{u}}.
Voltando de u para a expressão em x,y,z:
\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}.

Passo 6

As derivadas parciais em relação a y e z seguem exatamente o mesmo raciocínio (simetria da expressão em x,y,z). Repetindo os passos 3–5 com derivação em relação a y (tratando x,z constantes) obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{y}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}.
E com relação a z (tratando x,y constantes) obtemos
\frac{\partial f}{\partial z}=-\frac{z}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}.

Passo 7

Comentários finais didáticos e verificação rápida:
  • As três derivadas têm forma semelhante: cada uma é o negativo da coordenada correspondente dividido pela mesma raiz.
  • Atenção ao domínio: essas fórmulas só fazem sentido onde o denominador é não nulo e positivo, ou seja, onde 1-x^{2}-y^{2}-z^{2}>0. No caso da fronteira 1-x^{2}-y^{2}-z^{2}=0 o denominador é zero e as derivadas não são finitas (não está diferenciável ali).
  • Pequena verificação simples em uma variável: se y=z=0 a função vira f(x)=\sqrt{1-x^{2}} e sua derivada unidimensional é \dfrac{d}{dx}\sqrt{1-x^{2}}=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}, que coincide com a fórmula encontrada para \dfrac{\partial f}{\partial x}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{y}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=-\frac{z}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}

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