Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações e perguntas claras:
- Função dada:
. - A tarefa é achar as três derivadas parciais de primeira ordem:
, e . - Observação importante sobre domínio (isso vem do próprio enunciado da função): o radicando precisa ser não-negativo para
ser real, ou seja, . Para as derivadas eliminamos o caso em que o denominador vira zero (veja passos posteriores).
Passo 2
O que é uma derivada parcial (explicação didática): a derivada parcial de
em relação a, por exemplo,
mede a taxa de variação de
quando apenas
varia e as outras variáveis
e
são mantidas fixas. Formalmente,
Na prática de prova é mais prático usar regras de diferenciação (cadeia, potência, soma, etc.), tratando
e
como constantes quando derivamos em relação a
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia — preparo: é útil escrever a função como composição. Defina
então
A derivada de
em relação a
(regra da potência) é
Pela regra da cadeia, ao derivar
em relação a
temos
Passo 4
Calcular
(tratando
e
como constantes):
Substituindo em
do passo anterior:
Passo 5
Simplificar a expressão obtida:
Voltando de
para a expressão em
:
Passo 6
As derivadas parciais em relação a
e
seguem exatamente o mesmo raciocínio (simetria da expressão em
). Repetindo os passos 3–5 com derivação em relação a
(tratando
constantes) obtemos
E com relação a
(tratando
constantes) obtemos
Passo 7
Comentários finais didáticos e verificação rápida:
- As três derivadas têm forma semelhante: cada uma é o negativo da coordenada correspondente dividido pela mesma raiz.
- Atenção ao domínio: essas fórmulas só fazem sentido onde o denominador é não nulo e positivo, ou seja, onde
. No caso da fronteira o denominador é zero e as derivadas não são finitas (não está diferenciável ali). - Pequena verificação simples em uma variável: se
a função vira e sua derivada unidimensional é , que coincide com a fórmula encontrada para .