Use a Transformada de Laplace para resolver o P.V.I.
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-8 y=e^{-t} \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (P.V.I.)
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-8 y=e^{-t},\\[4pt] y(0)=1,\\[2pt] y^{\prime}(0)=0, \end{array}\right.
ou seja: encontrar a função y(t) definida para t\ge0 que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas. As informações relevantes são:
  • equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes: y^{\prime\prime}+2y^{\prime}-8y=e^{-t};
  • condição inicial y(0)=1;
  • condição inicial y'(0)=0;
  • termo não-homogêneo e^{-t} (para o qual a transformada de Laplace é simples).]

Passo 2

Breve revisão (aula rápida) sobre a Transformada de Laplace que vamos usar:
  • Definição: para uma função f(t) definida em t\ge0,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa (aqui tratamos s real e suficientemente grande para convergência).
  • Propriedade de linearidade:
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}.
  • Fórmulas úteis para derivadas (essenciais para equações diferenciais):
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
  • Transformada de uma exponencial simples:
\mathcal{L}\{e^{-t}\}(s)=\frac{1}{s+1}.
Essas fórmulas transformam a EDO em uma equação algébrica em Y(s), que é mais fácil de resolver.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), temos:
\mathcal{L}\{y''\}+2\mathcal{L}\{y'\}-8\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{e^{-t}\}.
Usando as fórmulas para derivadas e as condições iniciais y(0)=1, y'(0)=0:
\big(s^{2}Y(s)-s\cdot 1-0\big)+2\big(sY(s)-1\big)-8Y(s)=\frac{1}{s+1}.
Agora simplificamos o lado esquerdo.

Passo 4

Reunindo termos em Y(s) e os termos conhecidos:
\big(s^{2}+2s-8\big)Y(s)-s-2=\frac{1}{s+1}.
Isolando Y(s):
\big(s^{2}+2s-8\big)Y(s)=s+2+\frac{1}{s+1}.
Colocando em uma fração única, notamos que o denominador quadrático fatoriza:
s^{2}+2s-8=(s-2)(s+4).
Para escrever Y(s) como uma razão racional podemos juntar o numerador:
s+2+\frac{1}{s+1}=\frac{(s+2)(s+1)+1}{s+1}=\frac{s^{2}+3s+3}{s+1}.
Logo
Y(s)=\frac{s^{2}+3s+3}{(s+1)(s-2)(s+4)}.

Passo 5

Agora precisamos inverter a transformada: para isso fazemos decomposição em frações parciais. Queremos constantes A,B,C tais que
\frac{s^{2}+3s+3}{(s+1)(s-2)(s+4)}=\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+4}+\frac{C}{s+1}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s-2)(s+4) obtemos a identidade polinomial
s^{2}+3s+3=A(s+1)(s+4)+B(s-2)(s+1)+C(s-2)(s+4).
Para encontrar A,B,C é prático avaliar esta identidade nos zeros dos denominadores.

Passo 6

Calcular A,B,C por substituição:
  • Para s=2:
2^{2}+3\cdot2+3=4+6+3=13,
e no lado direito só fica A(2+1)(2+4)=A\cdot 3\cdot6=18A. Logo 18A=13, ou
A=\frac{13}{18}.
  • Para s=-4:
(-4)^{2}+3(-4)+3=16-12+3=7,
e o lado direito reduz a B(-4-2)(-4+1)=B(-6)(-3)=18B. Logo 18B=7, ou
B=\frac{7}{18}.
  • Para s=-1:
(-1)^{2}+3(-1)+3=1-3+3=1,
e o lado direito reduz a C(-1-2)(-1+4)=C(-3)(3)=-9C. Logo -9C=1, ou
C=-\frac{1}{9}.
Assim temos a decomposição:
Y(s)=\frac{13/18}{s-2}+\frac{7/18}{s+4}-\frac{1/9}{s+1}.

Passo 7

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Lembrando que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}(t)=e^{at},
obtém-se
y(t)=\frac{13}{18}e^{2t}+\frac{7}{18}e^{-4t}-\frac{1}{9}e^{-t},\qquad t\ge0.
Como verificação rápida (sanity check), nas condições iniciais:
y(0)=\frac{13}{18}+\frac{7}{18}-\frac{1}{9}=1,
e
y'(t)=\frac{26}{18}e^{2t}-\frac{28}{18}e^{-4t}+\frac{1}{9}e^{-t}\Rightarrow y'(0)=\frac{26-28+2}{18}=0,
portanto as condições iniciais são satisfeitas.

Resposta

y(t)=\frac{13}{18}e^{2t}+\frac{7}{18}e^{-4t}-\frac{1}{9}e^{-t}

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