Use a Transformada de Laplace para resolver o P.V.I.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (P.V.I.)
ou seja: encontrar a função
definida para
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas. As informações relevantes são:
- equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
; - condição inicial
; - condição inicial
; - termo não-homogêneo
(para o qual a transformada de Laplace é simples).]
Passo 2
Breve revisão (aula rápida) sobre a Transformada de Laplace que vamos usar:
- Definição: para uma função
definida em ,
onde
é a variável complexa (aqui tratamos
real e suficientemente grande para convergência).
- Propriedade de linearidade:
- Fórmulas úteis para derivadas (essenciais para equações diferenciais):
onde
.
- Transformada de uma exponencial simples:
Essas fórmulas transformam a EDO em uma equação algébrica em
, que é mais fácil de resolver.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denotando
, temos:
Usando as fórmulas para derivadas e as condições iniciais
,
:
Agora simplificamos o lado esquerdo.
Passo 4
Reunindo termos em
e os termos conhecidos:
Isolando
:
Colocando em uma fração única, notamos que o denominador quadrático fatoriza:
Para escrever
como uma razão racional podemos juntar o numerador:
Logo
Passo 5
Agora precisamos inverter a transformada: para isso fazemos decomposição em frações parciais. Queremos constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Para encontrar
é prático avaliar esta identidade nos zeros dos denominadores.
Passo 6
Calcular
por substituição:
- Para
:
e no lado direito só fica
. Logo
, ou
- Para
:
e o lado direito reduz a
. Logo
, ou
- Para
:
e o lado direito reduz a
. Logo
, ou
Assim temos a decomposição:
Passo 7
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Lembrando que
obtém-se
Como verificação rápida (sanity check), nas condições iniciais:
e
portanto as condições iniciais são satisfeitas.