Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função no ponto dado.
f(x, y)=\frac{x}{y} ;(1,2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=\frac{x}{y}
no ponto (1,2). Vamos usar a definição de derivada parcial e a regra de diferenciação tratando uma variável como constante.

Passo 2

Para \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} mantemos y constante. Como
f(x,y)=x\cdot y^{-1},
temos
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\cdot y^{-1}\bigr) =y^{-1} =\frac{1}{y}.

Passo 3

Agora avaliamos em (1,2):
f_x(1,2)=\frac{1}{2}.

Passo 4

Para \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} mantemos x constante. Reescrevendo f=x\,y^{-1},
\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\cdot y^{-1}\bigr) =x\cdot(-1)\,y^{-2} =-\frac{x}{y^2}.

Passo 5

Avaliando em (1,2):
f_y(1,2)=-\frac{1}{2^2}=-\frac{1}{4}.

Resposta

f_x(1,2)=\frac{1}{2} f_y(1,2)=-\frac{1}{4}

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