Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função no ponto dado.
f(x, y)=\frac{x+y}{x-y} ;(1,-2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=\frac{x+y}{x-y}
no ponto (1,-2).
O conteúdo que vamos usar é a regra do quociente para derivadas parciais: se f(x,y)=\frac{u(x,y)}{v(x,y)}, então
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^2}.

Passo 2

Identificamos
u(x,y)=x+y,\quad v(x,y)=x-y.
Para \frac{\partial f}{\partial x} precisamos de u_x=1 e v_x=1. Aplicando a regra do quociente,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{(1)\,(x-y)-(x+y)\,(1)}{(x-y)^2} =\frac{x-y-x-y}{(x-y)^2} =\frac{-2y}{(x-y)^2}.

Passo 3

Para \frac{\partial f}{\partial y} precisamos de u_y=1 e v_y=-1. Temos
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{(1)\,(x-y)-(x+y)\,(-1)}{(x-y)^2} =\frac{x-y+x+y}{(x-y)^2} =\frac{2x}{(x-y)^2}.

Passo 4

Agora avaliamos em (x,y)=(1,-2). Primeiro x-y=1-(-2)=3, logo (x-y)^2=9.
\frac{\partial f}{\partial x}(1,-2) =\frac{-2\,( -2)}{9} =\frac{4}{9}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(1,-2) =\frac{2\,(1)}{9} =\frac{2}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(1,-2)=\frac{4}{9}, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(1,-2)=\frac{2}{9}.

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