Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função no ponto dado.
f(x, y)=e^{x} \ln (y) ;(0, e)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=e^{x}\ln(y)
no ponto (0,e). Vamos usar as regras de derivação: \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e \frac{d}{dy}\ln(y)=\frac1{y}, tratando a outra variável como constante.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, fixamos y e derivamos em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\ln(y)\bigr) =e^{x}\ln(y).
No ponto (0,e) isso vale
\frac{\partial f}{\partial x}(0,e) =e^{0}\ln(e) =1\cdot1 =1.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, fixamos x e derivamos em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\ln(y)\bigr) =e^{x}\cdot\frac1{y} =\frac{e^{x}}{y}.
No ponto (0,e) isso vale
\frac{\partial f}{\partial y}(0,e) =\frac{e^{0}}{e} =\frac1{e}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,e)=1 \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,e)=\frac1{e}

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