Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função no ponto dado.
f(x, y, z)=x^{2} y z^{3}; (1,0,2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z)=x^{2}y\,z^{3}
no ponto (1,0,2). Para isso, usamos a definição de derivada parcial: ao derivar em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes, aplicando regras usuais de derivação (regra do produto e potência).

Passo 2

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}. Tratando y e z como constantes,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y\,z^{3}\bigr) = 2x\,y\,z^{3}.
Avaliando em (1,0,2):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,0,2) = 2\cdot1\cdot0\cdot2^{3} = 0.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}. Agora x e z são constantes,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y\,z^{3}\bigr) = x^{2}z^{3}.
Avaliando em (1,0,2):
\frac{\partial f}{\partial y}(1,0,2) = 1^{2}\cdot2^{3} = 8.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}. Aqui x e y são constantes,
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}y\,z^{3}\bigr) = 3\,x^{2}y\,z^{2}.
Avaliando em (1,0,2):
\frac{\partial f}{\partial z}(1,0,2) = 3\cdot1^{2}\cdot0\cdot2^{2} = 0.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(1,0,2)=0 \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(1,0,2)=8 \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}(1,0,2)=0

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