Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
w=e^uu+v^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função w(u,v)=e^uu+v^2. Esse conteúdo envolve derivadas parciais e uso da regra do quociente. Vamos derivar em relação a u (tratando v como constante) e em relação a v (tratando u como constante).

Passo 2

Para partial wpartial u, identificamos f(u,v)=e^u e g(u,v)=u+v^2. Então fu=e^u e gu=1. Aplicando a regra do quociente:
partial wpartial u =fu,g - f,gug^2 =e^u,(u+v^2) - e^ucdot1(u+v^2)^2 =e^u,(u+v^2 - 1)(u+v^2)^2

Passo 3

Para partial wpartial v, usamos novamente f(u,v)=e^u e g(u,v)=u+v^2. Agora fv=0 e gv=2v. Aplicando a regra do quociente:
partial wpartial v =fv,g - f,gvg^2 =0cdot(u+v^2) - e^ucdot2v(u+v^2)^2 =-2v,e^u(u+v^2)^2

Resposta

partial wpartial u=e^u,(u+v^2-1)(u+v^2)^2epartial wpartial v=-2v,e^u(u+v^2)^2

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