Seja f(x)=44-x. Determine:
f(x^2)-f(x)^2

Passo 1

A questão dá a função f(x)=44-x e pede pra gente achar f(x^2)-f(x)^2. Esse tipo de problema é sobre manipulação de expressões racionais, usando substituição e simplificação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar f(x^2). Substituindo x por x^2 em f(x)=44-x, temos:
f(x^2)=44-x^2

Passo 3

Agora, precisamos de f(x)^2. Como f(x)=44-x, o quadrado é:
f(x)^2=(44-x)^2=16(4-x)^2

Passo 4

Em seguida, montamos a diferença:
f(x^2)-f(x)^2=44-x^2-16(4-x)^2

Passo 5

Para subtrair essas frações, usamos o denominador comum (4-x^2)(4-x)^2:
4(4-x)^2(4-x^2)(4-x)^2-16(4-x^2)(4-x^2)(4-x)^2

Passo 6

Agora, expandimos o numerador:
  • 4(4-x)^2=4(16-8x+x^2)=64-32x+4x^2
  • 16(4-x^2)=64-16x^2
    Então o numerador fica:
(64-32x+4x^2)-(64-16x^2)=-32x+20x^2

Passo 7

Fatorando -32x+20x^2 sai 4x(5x-8). Logo a forma final é:
4x(5x-8)(4-x^2)(4-x)^2

Resposta

4x(5x-8)(4-x^2)(4-x)^2

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