Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(s, t)=\left(s^{2}-s t+t{2}\right){3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(s,t)=\bigl(s^{2}-s\,t+t^{2}\bigr)^{3}.
O conteúdo aqui é derivada parcial e regra da cadeia: primeiro identificamos uma função interna g(s,t)=s^{2}-s\,t+t^{2} e depois aplicamos a derivada de g^{3}.

Passo 2

Definimos
g(s,t)=s^{2}-s\,t+t^{2},
de modo que
f(s,t)=\bigl(g(s,t)\bigr)^{3}.
Pela regra da cadeia para derivadas parciais temos
\frac{\partial f}{\partial s} =3\,\bigl(g(s,t)\bigr)^{2}\,\frac{\partial g}{\partial s}, \quad \frac{\partial f}{\partial t} =3\,\bigl(g(s,t)\bigr)^{2}\,\frac{\partial g}{\partial t}.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de g:
\frac{\partial g}{\partial s} =\frac{\partial}{\partial s}\bigl(s^{2}-s\,t+t^{2}\bigr) =2\,s - t,
\frac{\partial g}{\partial t} =\frac{\partial}{\partial t}\bigl(s^{2}-s\,t+t^{2}\bigr) =-\,s + 2\,t.

Passo 4

Substituindo em cada fórmula da regra da cadeia, obtemos
\frac{\partial f}{\partial s} =3\,\bigl(s^{2}-s\,t+t^{2}\bigr)^{2}\,(2\,s - t),
\frac{\partial f}{\partial t} =3\,\bigl(s^{2}-s\,t+t^{2}\bigr)^{2}\,(-\,s + 2\,t).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial s} =3\,(s^{2}-s\,t+t^{2})^{2}\,(2s - t), \quad \frac{\partial f}{\partial t} =3\,(s^{2}-s\,t+t^{2})^{2}\,(-s + 2t).

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