Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(u, v)=\frac{u{2}-v{2}}{u{2}+v{2}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(u,v)=\frac{u^{2}-v^{2}}{u^{2}+v^{2}}.
O conteúdo aqui é derivada parcial de função de duas variáveis, e vamos usar a regra do quociente, que diz que se f=N/D então
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{D\,\frac{\partial N}{\partial x}-N\,\frac{\partial D}{\partial x}}{D^{2}}.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial f}{\partial u}, identificamos
N(u,v)=u^{2}-v^{2}, \qquad D(u,v)=u^{2}+v^{2}.
Então
\frac{\partial N}{\partial u}=2u, \qquad \frac{\partial D}{\partial u}=2u.
Pela regra do quociente,
\frac{\partial f}{\partial u} =\frac{(u^{2}+v^{2})\cdot2u\;-\;(u^{2}-v^{2})\cdot2u}{(u^{2}+v^{2})^{2}} =\frac{2u\bigl[(u^{2}+v^{2})-(u^{2}-v^{2})\bigr]}{(u^{2}+v^{2})^{2}} =\frac{4u\,v^{2}}{(u^{2}+v^{2})^{2}}.

Passo 3

Para calcular \frac{\partial f}{\partial v}, usamos os mesmos N e D e obtemos
\frac{\partial N}{\partial v}=-2v, \qquad \frac{\partial D}{\partial v}=2v.
Logo, pela regra do quociente,
\frac{\partial f}{\partial v} =\frac{(u^{2}+v^{2})\cdot(-2v)\;-\;(u^{2}-v^{2})\cdot2v}{(u^{2}+v^{2})^{2}} =\frac{-2v\bigl[(u^{2}+v^{2})+(u^{2}-v^{2})\bigr]}{(u^{2}+v^{2})^{2}} =\frac{-4u^{2}\,v}{(u^{2}+v^{2})^{2}}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial u} =\frac{4u\,v^{2}}{(u^{2}+v^{2})^{2}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial v} =-\frac{4u^{2}\,v}{(u^{2}+v^{2})^{2}}.

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