Calcule o volume do conjunto dado.
.
Passo 1
A questão pede o volume do conjunto
$$
{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 0\le x\le1,;0\le y\le1,;1\le z\le e^{x+y}}\n$$
Isso é um problema de cálculo de volume via integral tripla em coordenadas cartesianas. Vamos precisar usar integrais iteradas e propriedades de exponenciais.
Isso é um problema de cálculo de volume via integral tripla em coordenadas cartesianas. Vamos precisar usar integrais iteradas e propriedades de exponenciais.
Passo 2
Para montar a integral, escolhemos a ordem
. Assim
Primeiro, integramos em
:
Passo 3
Fica então
A gente separa em duas integrais: uma com exponencial e outra é só a área do quadrado unitário.
Passo 4
Para a parte exponencial, note que
E a integral de 1 sobre
vale simplesmente 1. Então