Calcule o volume do conjunto dado.
(x, y, z) in R^3 mid 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1,1 <= z <= e^x+y.

Passo 1

A questão pede o volume do conjunto
$$
{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 0\le x\le1,;0\le y\le1,;1\le z\le e^{x+y}}\n$$
Isso é um problema de cálculo de volume via integral tripla em coordenadas cartesianas. Vamos precisar usar integrais iteradas e propriedades de exponenciais.

Passo 2

Para montar a integral, escolhemos a ordem dz,dy,dx. Assim
V = integralx=0^1 integraly=0^1 integralz=1^e^x+y dz;dy;dx
Primeiro, integramos em z:
integral1^e^x+y dz = e^x+y - 1

Passo 3

Fica então
V = integral0^1 integral0^1 l(e^x+y - 1r) dy,dx = integral0^1 integral0^1 e^x+y dy,dx - integral0^1 integral0^1 1,dy,dx
A gente separa em duas integrais: uma com exponencial e outra é só a área do quadrado unitário.

Passo 4

Para a parte exponencial, note que
integral0^1 integral0^1 e^x+y dy,dx = l(integral0^1 e^x dxr) l(integral0^1 e^y dyr) = (e-1)^2
E a integral de 1 sobre [0,1]times[0,1] vale simplesmente 1. Então
V = (e-1)^2 - 1 = e^2 - 2e

Resposta

e^2 - 2e

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