Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y)=\frac{e^{x y}}{x+y}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=\frac{e^{xy}}{x+y}.
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais em funções de duas variáveis, usando a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
g(x,y)=e^{xy},\qquad h(x,y)=x+y,
então f(x,y)=g(x,y)/h(x,y). Pela regra do quociente,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{g_x\,h - g\,h_x}{h^2}.
Calculamos
g_x=\frac{\partial}{\partial x}e^{xy}=y\,e^{xy}, \qquad h_x=\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=1.
Substituindo,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{y\,e^{xy}(x+y)-e^{xy}\cdot 1}{(x+y)^2}.

Passo 3

Fatorando e^{xy} e escrevendo o numerador, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} =e^{xy}\,\frac{y(x+y)-1}{(x+y)^2} =e^{xy}\,\frac{xy + y^2 -1}{(x+y)^2}.

Passo 4

Agora para \partial f/\partial y, novamente pela regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{g_y\,h - g\,h_y}{h^2}.
Temos
g_y=\frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=x\,e^{xy}, \qquad h_y=\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{x\,e^{xy}(x+y)-e^{xy}\cdot 1}{(x+y)^2}.

Passo 5

Fatorando e simplificando, resulta
\frac{\partial f}{\partial y} =e^{xy}\,\frac{x(x+y)-1}{(x+y)^2} =e^{xy}\,\frac{x^2 + xy -1}{(x+y)^2}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =e^{xy}\,\frac{xy + y^2 -1}{(x+y)^2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =e^{xy}\,\frac{x^2 + xy -1}{(x+y)^2}.

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