Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
f(x, y)=\frac{x-4}{x+4}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=\frac{x-4}{x+4}
Em cálculo de funções de duas variáveis, usamos para \frac{\partial f}{\partial x} a regra do quociente, tratando y como constante, e para \frac{\partial f}{\partial y} derivamos em relação a y, mantendo x constante.

Passo 2

Vamos a \frac{\partial f}{\partial x}. Defina
u(x)=x-4,\quad v(x)=x+4,
então f(x,y)=u/v e
u'(x)=1,\quad v'(x)=1.
Pela regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2} =\frac{(1)(x+4)-(x-4)(1)}{(x+4)^2} =\frac{x+4-x+4}{(x+4)^2} =\frac{8}{(x+4)^2}.

Passo 3

Como f(x,y) não depende de y (é constante quando x é fixo), temos
\frac{\partial f}{\partial y}=0.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{8}{(x+4)^2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=0.

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