Determine o vetor tangente unitário t(t) no ponto com valor de parâmetro t dado
r(t)=\left(6 t^{2}, 4 t^{3}, 2 t\right) \quad t=1

Passo 1

O enunciado dá a curva espacial
\mathbf{r}(t)=\bigl(6t^{2},\,4t^{3},\,2t\bigr)
e pede o vetor tangente unitário \mathbf{t}(t) no ponto onde t=1. Para isso vamos usar a definição de vetor tangente unitário:
\mathbf{t}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|}.

Passo 2

Calcular a derivada \mathbf{r}'(t). Diferenciando cada componente em relação a t, temos
\mathbf{r}'(t)=\bigl(\frac{d}{dt}(6t^{2}),\,\frac{d}{dt}(4t^{3}),\,\frac{d}{dt}(2t)\bigr) =\bigl(12t,\,12t^{2},\,2\bigr).

Passo 3

Avaliar \mathbf{r}'(t) em t=1:
\mathbf{r}'(1)=\bigl(12\cdot1,\,12\cdot1^{2},\,2\bigr) =(12,\,12,\,2).

Passo 4

Calcular o módulo de \mathbf{r}'(1):
\|\mathbf{r}'(1)\| =\sqrt{12^{2}+12^{2}+2^{2}} =\sqrt{144+144+4} =\sqrt{292} =2\sqrt{73}.

Passo 5

Normalizar \mathbf{r}'(1) para obter o vetor tangente unitário em t=1:
\mathbf{t}(1) =\frac{\mathbf{r}'(1)}{\|\mathbf{r}'(1)\|} =\frac{1}{2\sqrt{73}}\,(12,\,12,\,2) =\Bigl(\frac{6}{\sqrt{73}},\,\frac{6}{\sqrt{73}},\,\frac{1}{\sqrt{73}}\Bigr).

Resposta

\mathbf{t}(1)=\Bigl(\frac{6}{\sqrt{73}},\,\frac{6}{\sqrt{73}},\,\frac{1}{\sqrt{73}}\Bigr).

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