Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y)=\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função está dada por \displaystyle f(x,y)=\dfrac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
  • O denominador \,x^{2}+y^{2}\, anula-se apenas em (x,y)=(0,0). Portanto os cálculos abaixo são válidos para todos os pontos com x^{2}+y^{2}\neq0. Em (0,0) a função não está definida, logo as derivadas parciais no ponto (0,0) não existem por essa razão.
  • A tarefa: calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

Conceito e estratégia para resolver (aulas rápidas).
  • Definição: a derivada parcial de f em relação a x é a derivada obtida tratando y como constante, isto é
\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},
e análogamente para \partial f/\partial y tratando x como constante.
  • Na prática, para funções racionais como essa é muito mais prático usar a regra do quociente: se f=\dfrac{u}{v} com u=u(x,y) e v=v(x,y), então, tratando a variável relevante como variável e a outra como constante,
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{\frac{\partial u}{\partial x}\,v - u\,\frac{\partial v}{\partial x}}{v^{2}}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{\frac{\partial u}{\partial y}\,v - u\,\frac{\partial v}{\partial y}}{v^{2}}.
  • Aqui escolhemos u(x,y)=x y^{2} e v(x,y)=x^{2}+y^{2}. Vamos aplicar o quociente duas vezes, uma para \partial/\partial x e outra para \partial/\partial y. Lembre-se: ao diferenciar u ou v em relação a x, trate y como constante; ao diferenciar em relação a y, trate x como constante.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
  • Primeiro calcule as derivadas parciais de u e v em relação a x:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x y^{2}\big)=y^{2}, \qquad \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+y^{2}\big)=2x.
(Explicação: y^{2} é constante ao derivar em x, por isso \partial(xy^{2})/\partial x = y^{2}.)
  • Agora aplique a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\big(\frac{\partial u}{\partial x}\big)v - u\big(\frac{\partial v}{\partial x}\big)}{v^{2}} = \frac{y^{2}(x^{2}+y^{2}) - (x y^{2})(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
  • Simplifique o numerador passo a passo:
y^{2}(x^{2}+y^{2}) - 2x^{2}y^{2} = y^{2}x^{2} + y^{4} - 2x^{2}y^{2} = -x^{2}y^{2} + y^{4} = y^{2}(y^{2}-x^{2}).
  • Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y^{2}(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, \qquad\text{para }x^{2}+y^{2}\neq0.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
  • Primeiro calcule as derivadas parciais de u e v em relação a y:
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x y^{2}\big)=2xy, \qquad \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+y^{2}\big)=2y.
(Explicação: x é constante ao derivar em y, então \partial(xy^{2})/\partial y = x\cdot 2y = 2xy.)
  • Aplique a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\big(\frac{\partial u}{\partial y}\big)v - u\big(\frac{\partial v}{\partial y}\big)}{v^{2}} = \frac{(2xy)(x^{2}+y^{2}) - (x y^{2})(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
  • Simplifique o numerador:
(2xy)(x^{2}+y^{2}) - 2x y^{2}y = 2x^{3}y + 2x y^{3} - 2x y^{3} = 2x^{3}y.
  • Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2x^{3}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, \qquad\text{para }x^{2}+y^{2}\neq0.

Passo 5

Observações finais, dicas de prova e pequeno exemplo adicional.
  • Resultado final (repetindo de forma direta) está logo abaixo no campo de resposta.
  • Dicas para a prova: ao calcular derivadas parciais de frações, identifique u e v, calcule \partial u/\partial(\text{variável})á e \partial v/\partial(\text{variável})á tratando a outra variável como constante, aplique o quociente e simplifique. Sempre saiba em quais pontos a expressão é válida (aqui, onde x^{2}+y^{2}\neq0).
  • Exemplo curto para treinar o mesmo procedimento: se g(x,y)=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}, então
\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{1\cdot (x^{2}+y^{2}) - x\cdot 2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Isso mostra o mesmo tipo de manipulação algébrica que fizemos acima, só com y^{2} multiplicando na função original.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y^{2}\,(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2x^{3}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}

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