Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função está dada por
. - O denominador
anula-se apenas em . Portanto os cálculos abaixo são válidos para todos os pontos com . Em a função não está definida, logo as derivadas parciais no ponto não existem por essa razão. - A tarefa: calcular
e .
Passo 2
Conceito e estratégia para resolver (aulas rápidas).
- Definição: a derivada parcial de
em relação a é a derivada obtida tratando como constante, isto é
e análogamente para
tratando
como constante.
- Na prática, para funções racionais como essa é muito mais prático usar a regra do quociente: se
com e , então, tratando a variável relevante como variável e a outra como constante,
- Aqui escolhemos
e . Vamos aplicar o quociente duas vezes, uma para e outra para . Lembre-se: ao diferenciar ou em relação a , trate como constante; ao diferenciar em relação a , trate como constante.
Passo 3
Cálculo de
.
- Primeiro calcule as derivadas parciais de
e em relação a :
(Explicação:
é constante ao derivar em
, por isso
.)
- Agora aplique a regra do quociente:
- Simplifique o numerador passo a passo:
- Portanto
Passo 4
Cálculo de
.
- Primeiro calcule as derivadas parciais de
e em relação a :
(Explicação:
é constante ao derivar em
, então
.)
- Aplique a regra do quociente:
- Simplifique o numerador:
- Portanto
Passo 5
Observações finais, dicas de prova e pequeno exemplo adicional.
- Resultado final (repetindo de forma direta) está logo abaixo no campo de resposta.
- Dicas para a prova: ao calcular derivadas parciais de frações, identifique
e , calcule e tratando a outra variável como constante, aplique o quociente e simplifique. Sempre saiba em quais pontos a expressão é válida (aqui, onde ). - Exemplo curto para treinar o mesmo procedimento: se
, então
Isso mostra o mesmo tipo de manipulação algébrica que fizemos acima, só com
multiplicando na função original.