e pede duas coisas: (i) mostrar que y_{0}=\tan(x) é uma solução particular; (ii) encontrar a solução geral da equação.
As informações relevantes são: a equação acima e a função candidata y_{0}(x)=\tan(x). Nesta etapa apenas listamos o que foi pedido e o que foi dado.
Passo 2
Verificar que y_{0}=\tan(x) é solução particular: calcule a derivada de y_{0} e substitua na equação. A derivada é
Como a derivada à esquerda é \operatorname{sec}^{2}(x) e o lado direito também é \operatorname{sec}^{2}(x), concluímos que y_{0}=\tan(x) satisfaz a equação. Logo y_{0} é realmente uma solução particular.
Passo 3
Método para obter a solução geral sabendo uma solução particular: para a equação de Riccati, se y_{0}(x) é uma solução particular, faz-se a substituição
y(x)=y_{0}(x)+z(x).
Essa substituição transforma a Riccati numa equação para z frequentemente mais simples (aqui vai ser uma equação sem termo constante). Vamos aplicar isso com y_{0}=\tan(x).
Passo 4
Substituindo y=\tan(x)+z na equação original. Primeiro calcule y':
Mas o lado esquerdo é a derivada do produto (\operatorname{sec}(x)\,u), pois (\operatorname{sec}(x)\,u)'=\operatorname{sec}(x)\,u'+\operatorname{sec}(x)\tan(x)\,u. Logo
onde C é constante arbitrária. Observação: a transformação u=1/z não representa a solução z\equiv0 (que corresponde à solução particular y=\tan x), por isso y=\tan x aparece como caso limite não obtido por nenhum valor finito de C.
Resposta
\displaystyle y_{0}=\tan(x) é uma solução particular. \displaystyle y(x)=\tan(x)+\frac{1}{\cos(x)\Bigl(C-\ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr|\Bigr)}, onde C é constante arbitrária.