Mostre que y_{0}=\tan (x) é solução particular da equação de Riccati:
\frac{d y}{d x}=y^{2}-\tan (x) y+\operatorname{sec} ^{2}(x)
e calcule sua solução.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Riccati
\frac{d y}{d x}=y^{2}-\tan(x)\,y+\operatorname{sec}^{2}(x)
e pede duas coisas: (i) mostrar que y_{0}=\tan(x) é uma solução particular; (ii) encontrar a solução geral da equação.
As informações relevantes são: a equação acima e a função candidata y_{0}(x)=\tan(x). Nesta etapa apenas listamos o que foi pedido e o que foi dado.

Passo 2

Verificar que y_{0}=\tan(x) é solução particular: calcule a derivada de y_{0} e substitua na equação. A derivada é
\frac{d}{dx}\bigl(\tan(x)\bigr)=\operatorname{sec}^{2}(x).
Agora calcule o lado direito da equação quando y=\tan(x):
y^{2}-\tan(x)\,y+\operatorname{sec}^{2}(x)=\tan^{2}(x)-\tan(x)\cdot\tan(x)+\operatorname{sec}^{2}(x)=\tan^{2}(x)-\tan^{2}(x)+\operatorname{sec}^{2}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x).
Como a derivada à esquerda é \operatorname{sec}^{2}(x) e o lado direito também é \operatorname{sec}^{2}(x), concluímos que y_{0}=\tan(x) satisfaz a equação. Logo y_{0} é realmente uma solução particular.

Passo 3

Método para obter a solução geral sabendo uma solução particular: para a equação de Riccati, se y_{0}(x) é uma solução particular, faz-se a substituição
y(x)=y_{0}(x)+z(x).
Essa substituição transforma a Riccati numa equação para z frequentemente mais simples (aqui vai ser uma equação sem termo constante). Vamos aplicar isso com y_{0}=\tan(x).

Passo 4

Substituindo y=\tan(x)+z na equação original. Primeiro calcule y':
y'=\frac{d}{dx}(\tan(x)+z)=\operatorname{sec}^{2}(x)+z'.
O lado direito com y=\tan(x)+z é
y^{2}-\tan(x)\,y+\operatorname{sec}^{2}(x)=(\tan(x)+z)^{2}-\tan(x)(\tan(x)+z)+\operatorname{sec}^{2}(x).
Desenvolvendo:
(\tan^{2}(x)+2\tan(x)z+z^{2})-(\tan^{2}(x)+\tan(x)z)+\operatorname{sec}^{2}(x)=\tan(x)z+z^{2}+\operatorname{sec}^{2}(x).
Igualando esquerda e direita (lembre que y'=\operatorname{sec}^{2}(x)+z') obtemos:
\operatorname{sec}^{2}(x)+z'=\operatorname{sec}^{2}(x)+\tan(x)z+z^{2}.
Cancelando \operatorname{sec}^{2}(x) em ambos os lados:
z'=\tan(x)z+z^{2}.
Portanto z(x) satisfaz a equação
\frac{dz}{dx}=z^{2}+\tan(x)\,z.

Passo 5

Linearizar a equação para z usando a substituição u=\dfrac{1}{z} (válida quando z\neq0). Se u=1/z então z=1/u e
\frac{dz}{dx}=-\frac{u'}{u^{2}}.
Substituindo em z' = z^{2}+\tan(x)z:
-\frac{u'}{u^{2}}=\frac{1}{u^{2}}+\tan(x)\cdot\frac{1}{u}.
Multiplicando por u^{2}:
- u' = 1 + \tan(x)\,u.
Reorganizando:
u' + \tan(x)\,u = -1.
Esta é uma equação linear de primeira ordem para u(x).

Passo 6

Resolver a equação linear u' + \tan(x)\,u = -1 pelo fator integrante. O coeficiente de u é \tan(x), então o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int \tan(x)\,dx\right)=\exp\!\bigl(-\ln|\cos(x)|\bigr)=\operatorname{sec}(x).
Multiplicando a equação por \mu(x)=\operatorname{sec}(x) obtemos
\operatorname{sec}(x)\,u' + \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,u = -\operatorname{sec}(x).
Mas o lado esquerdo é a derivada do produto (\operatorname{sec}(x)\,u), pois (\operatorname{sec}(x)\,u)'=\operatorname{sec}(x)\,u'+\operatorname{sec}(x)\tan(x)\,u. Logo
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(x)\,u\bigr) = -\operatorname{sec}(x).
Integramos ambos os lados em x:
\operatorname{sec}(x)\,u = -\int \operatorname{sec}(x)\,dx + C,
onde C é uma constante de integração. A integral de \operatorname{sec}(x) é conhecida:
\int \operatorname{sec}(x)\,dx = \ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr| + \text{const}.
Portanto
\operatorname{sec}(x)\,u = -\ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr| + C.
Isolando u:
u(x)=\cos(x)\bigl(C-\ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr|\bigr).

Passo 7

Voltar para z e depois para y. Lembrando z=1/u, obtemos
z(x)=\frac{1}{\cos(x)\bigl(C-\ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr|\bigr)}.
E como y=\tan(x)+z, a solução geral é
y(x)=\tan(x)+\frac{1}{\cos(x)\bigl(C-\ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr|\bigr)},
onde C é constante arbitrária. Observação: a transformação u=1/z não representa a solução z\equiv0 (que corresponde à solução particular y=\tan x), por isso y=\tan x aparece como caso limite não obtido por nenhum valor finito de C.

Resposta

\displaystyle y_{0}=\tan(x) é uma solução particular.
\displaystyle y(x)=\tan(x)+\frac{1}{\cos(x)\Bigl(C-\ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr|\Bigr)}, onde C é constante arbitrária.

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