Indicando com \operatorname{card}(X) o número de elementos do conjunto finito X, prove que:
Se X \subset Y são finitos e X \cap Y=\emptyset, então X \cup Y é finito e \operatorname{card}(X \cup Y) = \operatorname{card}(X) + \operatorname{card}(Y)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (vou reescrever de forma precisa): são dados dois conjuntos X e Y tais que
  • X e Y são finitos;
  • X\cap Y=\emptyset (ou seja, são disjuntos).
O que se pede provar:
  • Que X\cup Y é finito;
  • Que \operatorname{card}(X\cup Y)=\operatorname{card}(X)+\operatorname{card}(Y).
Vou anotar também os números de elementos (que existem porque os conjuntos são finitos):
  • Seja m=\operatorname{card}(X).
  • Seja n=\operatorname{card}(Y).

Passo 2

Lembrando a definição de “conjunto finito” e de bijeção (explicação didática):
  • Dizer que um conjunto A é finito significa que existe um inteiro positivo k e uma bijeção entre A e o conjunto \{1,\dots,k\}. Uma bijeção é uma função que é ao mesmo tempo injetora (valores distintos no domínio vão para valores distintos na imagem) e sobrejetora (todo elemento do contradomínio tem alguma pré-imagem).
  • Assim, para X finito existe uma bijeção f:\{1,\dots,m\}\to X. Para Y finito existe uma bijeção g:\{1,\dots,n\}\to Y.
    Essa é a maneira padrão de “enumerar” os elementos de um conjunto finito: listar m elementos como f(1),f(2),\dots,f(m), e n elementos como g(1),\dots,g(n).

Passo 3

Construção das enumerações (pequena aula prática):
  • Como X é finito com \operatorname{card}(X)=m, escolhemos e fixamos uma bijeção
f:\{1,\dots,m\}\to X.
Isto significa que os elementos de X são f(1),f(2),\dots,f(m) todos distintos e que não há outros.
  • Como Y é finito com \operatorname{card}(Y)=n, escolhemos e fixamos uma bijeção
g:\{1,\dots,n\}\to Y.
Os elementos de Y são g(1),g(2),\dots,g(n).

Passo 4

Definição da função que vai unir as enumerações (ideia central):
  • Vamos definir uma função h:\{1,\dots,m+n\}\to X\cup Y\) juntando \(f\) e \(g\) sem sobreposição. Definimos \(h\) por partes: \[h(i)= \begin{cases} f(i), & \text{se }1\le i\le m,\\[4pt] g(i-m), & \text{se }m+1\le i\le m+n. \end{cases}
Essa é uma definição natural: os primeiros m\] índices correspondem aos elementos de \(X; os próximos n índices correspondem aos elementos de Y.]

Passo 5

Provar que h é injetora (passo técnico e importante):
  • Tome i,j\in\{1,\dots,m+n\} tais que h(i)=h(j). Queremos mostrar i=j.
  • Caso 1: Se i\le m e j\le m, então h(i)=f(i) e h(j)=f(j). Como f é injetora, f(i)=f(j) implica i=j.
  • Caso 2: Se i>m e j>m, então h(i)=g(i-m) e h(j)=g(j-m). Como g é injetora, g(i-m)=g(j-m) implica i-m=j-m, i.e. i=j.
  • Caso 3: Se i\le m e j>m (ou simetricamente i>m e j\le m), então h(i)=f(i)\in X e h(j)=g(j-m)\in Y. Mas pelos dados X\cap Y=\emptyset, então f(i) não pode ser igual a g(j-m). Portanto esse caso não pode ocorrer quando h(i)=h(j).
  • Conclusão: nos três casos, h(i)=h(j) implica i=j. Logo h é injetora.

Passo 6

Provar que h é sobrejetora:
  • Tome um elemento t\in X\cup Y. Então t\in X ou t\in Y.
  • Se t\in X, como f é sobrejetora existe i\in\{1,\dots,m\} tal que f(i)=t. Pela definição de h temos h(i)=f(i)=t.
  • Se t\in Y, como g é sobrejetora existe j\in\{1,\dots,n\} tal que g(j)=t. Pela definição de h temos h(m+j)=g(j)=t.
  • Em ambos os casos encontramos um índice em \{1,\dots,m+n\} cujo valor por h é t. Logo h é sobrejetora.

Passo 7

Concluir que h é bijeção e interpretar o resultado:
  • Como mostramos que h é injetora e sobrejetora, h é bijeção entre \{1,\dots,m+n\} e X\cup Y.
  • Isto implica que X\cup Y é finito (pois é bijetável com \{1,\dots,m+n\}) e que
\operatorname{card}(X\cup Y)=m+n.
  • Lembrando que m=\operatorname{card}(X) e n=\operatorname{card}(Y), obtemos a igualdade desejada.

Passo 8

Comentário final, intuitivo e motivador:
  • Intuitivamente, como X e Y não têm elementos em comum, para contar os elementos do conjunto unido basta contar os de X e os de Y separadamente e somar. A prova formal que fizemos mostra isso construindo uma enumeração explícita sem repetições.
  • Bom trabalho por chegar até aqui — essa construção de “colar” duas enumerações é uma técnica que aparece muito; guarda ela na mochila para a prova!

Resposta

\operatorname{card}(X\cup Y)=\operatorname{card}(X)+\operatorname{card}(Y)

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