Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y)=\left(x{2}+y{2}\right)^{2 / 3}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y) = \bigl(x^2 + y^2\bigr)^{\tfrac{2}{3}}.
Para isso vamos usar a regra da cadeia: escrevemos f(x,y) = g\bigl(u(x,y)\bigr) com
u(x,y) = x^2 + y^2, \quad g(t) = t^{\tfrac{2}{3}}.

Passo 2

Primeiro encontramos g'(t) e as derivadas parciais de u:
g'(t) = \frac{2}{3}\,t^{-\tfrac{1}{3}}, \quad \frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 2y.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} = g'\bigl(u(x,y)\bigr)\,\frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = g'\bigl(u(x,y)\bigr)\,\frac{\partial u}{\partial y}.

Passo 3

Substituindo u(x,y)=x^2+y^2 em g' e em \partial u/\partial x, \partial u/\partial y, obtemos para (x,y)\neq(0,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{2}{3}\,(x^2+y^2)^{-\tfrac{1}{3}}\cdot 2x = \frac{4}{3}\,x\,(x^2+y^2)^{-\tfrac{1}{3}},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{2}{3}\,(x^2+y^2)^{-\tfrac{1}{3}}\cdot 2y = \frac{4}{3}\,y\,(x^2+y^2)^{-\tfrac{1}{3}}.

Passo 4

Falta ver o caso (x,y)=(0,0). Por definição,
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{|h|^{\tfrac{4}{3}}}{h} =0,
e de modo análogo \partial f/\partial y(0,0)=0.

Resposta

Para todo (x,y)\neq(0,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{4}{3}\,x\,(x^2+y^2)^{-\tfrac{1}{3}}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{4}{3}\,y\,(x^2+y^2)^{-\tfrac{1}{3}}.
No ponto (0,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.

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