Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y)=x^{2} e{y{2}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=x^{2}e^{y^{2}}.
O conteúdo envolve derivação parcial, em que tratamos uma variável como variável e a outra como constante. Vamos aplicar a regra do produto para \partial f/\partial x e a regra da cadeia para \partial f/\partial y.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Aqui y é constante, então
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}e^{y^{2}}\bigr) =e^{y^{2}}\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr) = e^{y^{2}}\cdot 2x =2x\,e^{y^{2}}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Agora x é constante e usamos regra da cadeia em e^{y^{2}}:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}e^{y^{2}}\bigr) =x^{2}\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y^{2}}\bigr) =x^{2}\,e^{y^{2}}\cdot \frac{d}{dy}(y^{2}) =x^{2}\,e^{y^{2}}\cdot 2y =2x^{2}y\,e^{y^{2}}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x\,e^{y^{2}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2x^{2}y\,e^{y^{2}}.

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