Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
g(u, v)=e^{u} \ln (v)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
g(u,v)=e^{u}\ln(v).
O conteúdo aqui é derivada parcial, usando as regras de derivação de e^{u} e de \ln(v), tratando a outra variável como constante.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial g}{\partial u}, consideramos v como constante. Então \ln(v) é constante e
\frac{\partial g}{\partial u} =\frac{d}{du}\bigl(e^{u}\bigr)\,\ln(v) =e^{u}\ln(v).

Passo 3

Para calcular \frac{\partial g}{\partial v}, agora consideramos u como constante, de modo que e^{u} é constante e
\frac{\partial g}{\partial v} =e^{u}\,\frac{d}{dv}\bigl(\ln(v)\bigr) =e^{u}\,\frac{1}{v} =\frac{e^{u}}{v}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u}=e^{u}\ln(v) \displaystyle \frac{\partial g}{\partial v}=\frac{e^{u}}{v}

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