Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y)=\frac{x}{1+y}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=\frac{x}{1+y}.
O conteúdo aqui é diferenciação parcial: tratamos uma variável como constante enquanto derivamos em relação à outra, aplicando a regra de potência (ou quociente).

Passo 2

Para calcular \frac{\partial f}{\partial x}, consideramos y constante e escrevemos
f(x,y)=x\,(1+y)^{-1}.
Derivando em relação a x, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} = (1+y)^{-1}.

Passo 3

Para calcular \frac{\partial f}{\partial y}, consideramos x constante e usamos
f(x,y)=x\,(1+y)^{-1}.
Aplicando a regra da cadeia (derivada de (1+y)^{-1} é -1\,(1+y)^{-2}), vem
\frac{\partial f}{\partial y} = x \cdot (-1)\,(1+y)^{-2} = -\frac{x}{(1+y)^2}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{1+y}
\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{x}{(1+y)^2}

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