Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
g(s, t)=\frac{2 t}{s^{2}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
g(s,t) = \frac{2\,t}{s^{2}}.
O conteúdo é derivada parcial: ao derivar em relação a uma variável, a outra é tratada como constante. Para resolver, vamos usar a regra do poder d(s^{-2})/ds = -2s^{-3} e a regra de derivação de constantes multiplicadas por variáveis.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial g}{\partial s}: escrevemos
g(s,t) = 2\,t \;s^{-2}.
Derivando em relação a s, mantendo t fixo, usamos a regra do poder:
\frac{\partial g}{\partial s}(s,t) = 2\,t \;\frac{d}{ds}\bigl(s^{-2}\bigr) = 2\,t \;(-2)\,s^{-3} = -4\,\frac{t}{s^{3}}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial g}{\partial t}: escrevemos
g(s,t) = \frac{2}{s^{2}}\;t.
Derivando em relação a t, mantendo s fixo, obtemos
\frac{\partial g}{\partial t}(s,t) = \frac{2}{s^{2}}\;\frac{d}{dt}(t) = \frac{2}{s^{2}}\cdot 1 = \frac{2}{s^{2}}.

Resposta

\frac{\partial g}{\partial s}(s,t) = -4\,\frac{t}{s^{3}}, \qquad \frac{\partial g}{\partial t}(s,t) = \frac{2}{s^{2}}.

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