Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja:
-
(derivada parcial em relação a ), -
(derivada parcial em relação a ).
Informações relevantes: a função é produto de uma parte que depende só de
—
— e uma parte que depende só de
—
.
Passo 2
O que é derivada parcial? Para fixar a ideia, a derivada parcial de
em relação a
num ponto
é o limite (se existir)
Isto significa: variar apenas
(por
) mantendo
fixo e ver a taxa de variação. Analogamente, a derivada parcial em relação a
mantém
fixo e faz o limite em variações de
. Uma propriedade útil: se uma parcela da função é constante quando se deriva em relação a uma variável, ela sai como multiplicador constante.
Passo 3
Cálculo de
.
Como não depende de
, ao derivar em relação a
podemos tratá-la como constante. Usando a definição ou a regra de derivação de potência, temos que a derivada de
em relação a
é
. Portanto
Como
Passo 4
Para ver com mais detalhe (e perder o medo): usando o quociente de diferenças,
Expandindo
e dividindo por
obtém-se
. Fazendo
sobra
, multiplicado por
dá exatamente o resultado do passo anterior.
Passo 5
Cálculo de
.
Agora é tratado como constante (porque não depende de
). A derivada de
em relação a
é
. Aplicando a regra do fator constante:
Agora
Passo 6
Observações finais e incentivo: ambas as derivadas são funções bem definidas para todo
. A função
é suave (infinitamente diferenciável) e as operação acima são diretas graças ao fato de
ser produto de fatores que dependem separadamente de
e de
. Você está indo bem — exercícios assim ficam mais fáceis com a prática!