Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
g(x, y)=x^{3} \operatorname{sen}(y)

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x,y)=x^{3}\operatorname{sen}(y)
e pede as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja:
  • \dfrac{\partial g}{\partial x}(x,y) (derivada parcial em relação a x),
  • \dfrac{\partial g}{\partial y}(x,y) (derivada parcial em relação a y).
Informações relevantes: a função é produto de uma parte que depende só de x x^{3} — e uma parte que depende só de y \operatorname{sen}(y).

Passo 2

O que é derivada parcial? Para fixar a ideia, a derivada parcial de g em relação a x num ponto (x_{0},y_{0}) é o limite (se existir)
\frac{\partial g}{\partial x}(x_{0},y_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{g(x_{0}+h,y_{0})-g(x_{0},y_{0})}{h}.
Isto significa: variar apenas x (por h) mantendo y fixo e ver a taxa de variação. Analogamente, a derivada parcial em relação a y mantém x fixo e faz o limite em variações de y. Uma propriedade útil: se uma parcela da função é constante quando se deriva em relação a uma variável, ela sai como multiplicador constante.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial g}{\partial x}(x,y).
Como \operatorname{sen}(y) não depende de x, ao derivar em relação a x podemos tratá-la como constante. Usando a definição ou a regra de derivação de potência, temos que a derivada de x^{3} em relação a x é 3x^{2}. Portanto
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=3x^{2}\operatorname{sen}(y).

Passo 4

Para ver com mais detalhe (e perder o medo): usando o quociente de diferenças,
\frac{g(x+h,y)-g(x,y)}{h}=\frac{(x+h)^{3}\operatorname{sen}(y)-x^{3}\operatorname{sen}(y)}{h} =\operatorname{sen}(y)\,\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}.
Expandindo (x+h)^{3}-x^{3}=3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3} e dividindo por h obtém-se 3x^{2}+3xh+h^{2}. Fazendo h\to0 sobra 3x^{2}, multiplicado por \operatorname{sen}(y) dá exatamente o resultado do passo anterior.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial g}{\partial y}(x,y).
Agora x^{3} é tratado como constante (porque não depende de y). A derivada de \operatorname{sen}(y) em relação a y é \operatorname{cos}(y). Aplicando a regra do fator constante:
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=x^{3}\operatorname{cos}(y).

Passo 6

Observações finais e incentivo: ambas as derivadas são funções bem definidas para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. A função g é suave (infinitamente diferenciável) e as operação acima são diretas graças ao fato de g ser produto de fatores que dependem separadamente de x e de y. Você está indo bem — exercícios assim ficam mais fáceis com a prática!

Resposta

\dfrac{\partial g}{\partial x}(x,y)=3x^{2}\operatorname{sen}(y)
\dfrac{\partial g}{\partial y}(x,y)=x^{3}\operatorname{cos}(y)

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