Determine as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e em relação a y das funções abaixo. Simplifique as expressões sempre que possível.
f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}+1\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de f em relação a x e em relação a y. A função dada é
f(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}+1\big).
Informações relevantes que temos:
  • A expressão interna é u(x,y)=x^{2}+y^{2}+1.
  • Note que u(x,y)>0 para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, então f está bem definida em todo o plano.
  • O que se pede: \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}, simplificando as expressões.

Passo 2

O que significa “derivada parcial”? Vou explicar devagar. A derivada parcial de f em relação a x, escrevemos \dfrac{\partial f}{\partial x}, é a derivada de f ao variar x mantendo y fixo. Analogamente, \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada ao variar y mantendo x fixo. Em outras palavras: quando derivamos em relação a uma variável, tratamos a outra como constante — é como fazer a derivada de uma função de uma variável só, onde a outra aparece como número fixo.

Passo 3

Vamos identificar a composição que temos e a regra que vamos usar. A função f é uma composição \ln aplicada à função u(x,y)=x^{2}+y^{2}+1. Para composições do tipo f(x,y)=\ln\big(u(x,y)\big) usamos a regra da cadeia (para derivadas parciais), que diz:
\frac{\partial}{\partial x}\ln\big(u(x,y)\big)=\frac{1}{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\ln\big(u(x,y)\big)=\frac{1}{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Explicando as peças:
  • u(x,y) é a função interna, aqui u(x,y)=x^{2}+y^{2}+1.
  • \dfrac{\partial u}{\partial x} é a derivada parcial de u em relação a x (tratando y como constante).
  • O fator \dfrac{1}{u(x,y)} vem da derivada de \ln(t) que é \dfrac{1}{t} aplicada a t=u(x,y).

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y}. Lembre-se: ao derivar em relação a x, y é constante; ao derivar em relação a y, x é constante.
Para u(x,y)=x^{2}+y^{2}+1:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(y^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(1\big).
Como \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x, \dfrac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0 (porque y é tratado como constante) e \dfrac{\partial}{\partial x}(1)=0, obtemos
\frac{\partial u}{\partial x}=2x.
De modo análogo,
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(1\big)
e como \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0, \dfrac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y, \dfrac{\partial}{\partial y}(1)=0, obtemos
\frac{\partial u}{\partial y}=2y.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia com os valores encontrados. Usando \dfrac{\partial}{\partial x}\ln(u)=\dfrac{1}{u}\dfrac{\partial u}{\partial x} e substituindo u e \dfrac{\partial u}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}\cdot 2x=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}+1}.
Do mesmo modo, para y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}\cdot 2y=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}+1}.
Essas formas já estão simplificadas. Observação útil para a prova: a função é radial em x e y (depende de x^{2}+y^{2}), portanto as derivadas seguem a mesma estrutura, trocando x por y.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar (faz no caderno na prova): em (x,y)=(1,0),
\frac{\partial f}{\partial x}(1,0)=\frac{2\cdot 1}{1^{2}+0^{2}+1}=\frac{2}{2}=1, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,0)=\frac{2\cdot 0}{1^{2}+0^{2}+1}=0.
Dica de exame: escreva rapidamente u=x^{2}+y^{2}+1, calcule u_x, u_y (são 2x e 2y) e aplique \dfrac{1}{u} — isso economiza tempo.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{2x}{x^{2}+y^{2}+1}
\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{2y}{x^{2}+y^{2}+1}

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