Determine as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e em relação a
das funções abaixo. Simplifique as expressões sempre que possível.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
em relação a
e em relação a
. A função dada é
Informações relevantes que temos:
- A expressão interna é
. - Note que
para todo , então está bem definida em todo o plano. - O que se pede:
e , simplificando as expressões.
Passo 2
O que significa “derivada parcial”? Vou explicar devagar. A derivada parcial de
em relação a
, escrevemos
, é a derivada de
ao variar
mantendo
fixo. Analogamente,
é a derivada ao variar
mantendo
fixo. Em outras palavras: quando derivamos em relação a uma variável, tratamos a outra como constante — é como fazer a derivada de uma função de uma variável só, onde a outra aparece como número fixo.
Passo 3
Vamos identificar a composição que temos e a regra que vamos usar. A função
é uma composição
aplicada à função
. Para composições do tipo
usamos a regra da cadeia (para derivadas parciais), que diz:
Explicando as peças:
-
é a função interna, aqui . -
é a derivada parcial de em relação a (tratando como constante). - O fator
vem da derivada de que é aplicada a .
Passo 4
Calcular
e
. Lembre-se: ao derivar em relação a
,
é constante; ao derivar em relação a
,
é constante.
Para
:
Como
,
(porque
é tratado como constante) e
, obtemos
De modo análogo,
e como
,
,
, obtemos
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia com os valores encontrados. Usando
e substituindo
e
:
Do mesmo modo, para
:
Essas formas já estão simplificadas. Observação útil para a prova: a função é radial em
e
(depende de
), portanto as derivadas seguem a mesma estrutura, trocando
por
.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar (faz no caderno na prova): em
,
Dica de exame: escreva rapidamente
, calcule
(são
e
) e aplique
— isso economiza tempo.