Seja a função
definida por
Calcule as derivadas parciais
e
. Em seguida, determine os valores dessas derivadas no ponto
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede duas coisas:
- Calcular as derivadas parciais
e (ou seja, as derivadas de em relação a e a , respectivamente). - Avaliar essas derivadas no ponto
.
As informações relevantes que temos são exatamente os termos da função: um termo
e um termo
. Nada mais é fornecido.
Passo 2
O que é derivada parcial?
- A derivada parcial de
em relação a , denotada , é a derivada de tratando como constante. - Analogamente,
é a derivada de tratando como constante.
Regras que vamos usar (em forma simples):
- Regra do produto: se
e dependem de (e possivelmente de ), então
- Derivada do exponencial: para
,
No nosso caso os expoentes são
ou
; quando diferenciamos em relação a
,
é constante e
; quando diferenciamos em relação a
,
e
é constante.
Passo 3
Calcular
passo a passo.
Escrevendo
como soma de dois termos, derivamos cada um em relação a
e somamos:
Derivada de
em relação a
: aqui
é constante (pois derivamos em relação a
), então
Derivada de
em relação a
: aqui
é constante e
, logo
Somando os dois resultados obtemos
Passo 4
Calcular
passo a passo.
Novamente, derive termo a termo, agora em relação a
.
Derivada de
em relação a
:
é constante e
, portanto
Derivada de
em relação a
:
é constante e
, então
Somando os dois resultados obtemos
Passo 5
Agora avaliamo-las no ponto
. Primeiro
.
Substituindo
e
em
:
Passo 6
Em seguida
.
Substituindo
e
em
: