Seja a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definida por
f(x, y)=x^{2} e^{y}+y^{2} e^{x}
Calcule as derivadas parciais f_{x}(x, y) e f_{y}(x, y). Em seguida, determine os valores dessas derivadas no ponto (0,1).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^{2}e^{y}+y^{2}e^{x}
e pede duas coisas:
  • Calcular as derivadas parciais \,f_{x}(x,y) e \,f_{y}(x,y) (ou seja, as derivadas de f em relação a x e a y, respectivamente).
  • Avaliar essas derivadas no ponto (0,1).
As informações relevantes que temos são exatamente os termos da função: um termo x^{2}e^{y} e um termo y^{2}e^{x}. Nada mais é fornecido.

Passo 2

O que é derivada parcial?
  • A derivada parcial de f em relação a x, denotada \,f_{x}(x,y), é a derivada de f tratando y como constante.
  • Analogamente, \,f_{y}(x,y) é a derivada de f tratando x como constante.
Regras que vamos usar (em forma simples):
  • Regra do produto: se u e v dependem de x (e possivelmente de y), então
\frac{\partial}{\partial x}(u\cdot v)=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
  • Derivada do exponencial: para g=g(x),
\frac{d}{dx}e^{g(x)}=e^{g(x)}\cdot g'(x).
No nosso caso os expoentes são y ou x; quando diferenciamos em relação a x, e^{y} é constante e \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}; quando diferenciamos em relação a y, \frac{d}{dy}e^{y}=e^{y} e e^{x} é constante.

Passo 3

Calcular \,f_{x}(x,y) passo a passo.
Escrevendo f como soma de dois termos, derivamos cada um em relação a x e somamos:
f(x,y)=\underbrace{x^{2}e^{y}}_{T_1}+\underbrace{y^{2}e^{x}}_{T_2}.
Derivada de T_1=x^{2}e^{y} em relação a x: aqui e^{y} é constante (pois derivamos em relação a x), então
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}e^{y})= (2x)\,e^{y}=2x e^{y}.
Derivada de T_2=y^{2}e^{x} em relação a x: aqui y^{2} é constante e \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}, logo
\frac{\partial}{\partial x}(y^{2}e^{x})= y^{2} e^{x}.
Somando os dois resultados obtemos
\boxed{\,f_{x}(x,y)=2x e^{y}+y^{2} e^{x}\,}.

Passo 4

Calcular \,f_{y}(x,y) passo a passo.
Novamente, derive termo a termo, agora em relação a y.
Derivada de T_1=x^{2}e^{y} em relação a y: x^{2} é constante e \frac{d}{dy}e^{y}=e^{y}, portanto
\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}e^{y})= x^{2} e^{y}.
Derivada de T_2=y^{2}e^{x} em relação a y: e^{x} é constante e \frac{d}{dy}y^{2}=2y, então
\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}e^{x})= (2y)\,e^{x}=2y e^{x}.
Somando os dois resultados obtemos
\boxed{\,f_{y}(x,y)=x^{2} e^{y}+2y e^{x}\,}.

Passo 5

Agora avaliamo-las no ponto (0,1). Primeiro \,f_{x}(0,1).
Substituindo x=0 e y=1 em \,f_{x}(x,y)=2x e^{y}+y^{2} e^{x}:
f_{x}(0,1)=2\cdot 0\cdot e^{1}+1^{2}\cdot e^{0}=0+1\cdot 1=1.

Passo 6

Em seguida \,f_{y}(0,1).
Substituindo x=0 e y=1 em \,f_{y}(x,y)=x^{2} e^{y}+2y e^{x}:
f_{y}(0,1)=0^{2}\cdot e^{1}+2\cdot 1\cdot e^{0}=0+2\cdot 1=2.

Resposta

f_{x}(x,y)=2x e^{y}+y^{2} e^{x}
f_{y}(x,y)=x^{2} e^{y}+2y e^{x}
f_{x}(0,1)=1
f_{y}(0,1)=2

Exercícios relacionados