Determine as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e em relação a
das funções abaixo. Simplifique as expressões sempre que possível.
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem de
em relação a
e em relação a
. A função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A função é de duas variáveis,
e . - Deve-se encontrar
(derivada parcial em relação a ) e (derivada parcial em relação a ). - Não há restrições adicionais nem imagens.
Passo 2
O que significa derivada parcial: ao calcular
trata-se
como constante e diferencia-se em relação a
; ao calcular
trata-se
como constante e diferencia-se em relação a
.
Notação e definição (forma intuitiva):
Passo 3
Regras de diferenciação que vamos usar (lembrando de colocá-las de forma prática):
Produto de funções: se
e
são funções, então
Regra da cadeia (caso comum): se
, então
porque a derivada de
em relação a
é
.
No nosso problema temos um produto entre
e
. Observe que
depende de
e
, enquanto
depende só de
.
Passo 4
Cálculo de
.
Aplicando a regra do produto com
e
:
Agora calculamos as derivadas parciais que aparecem:
- Para
usamos a regra da cadeia com . Como em relação a tem derivada parcial (pois é tratado como constante), obtemos
- Para
sabemos a derivada usual de : . Como depende só de , a derivada parcial é
Substituindo na regra do produto:
Podemos fatorar
para simplificar:
Passo 5
Cálculo de
.
Agora tratamos
como constante. A função é
e
é um fator constante em relação a
. Logo podemos usar a regra do produto mais simples (ou apenas fatorar
):
Primeiro, derivative de
em relação a
: para
, tem-se
(pois
é constante agora), então
Portanto
Reescrevendo de forma mais compacta:
Passo 6
Pequeno exemplo extra para fixar (se quiser praticar rápido): se
, ao derivar em
usaríamos produto + cadeia exatamente do mesmo jeito; ao derivar em
seria constante e a derivada de
em
seria
.
Força aí — você já tem a técnica: identificar fatores, tratar a variável não diferenciada como constante, aplicar produto e cadeia.