Determine as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e em relação a y das funções abaixo. Simplifique as expressões sempre que possível.
f(x, y)=e^{x y} \cos x;

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem de f(x,y) em relação a x e em relação a y. A função dada é
f(x,y)=e^{x y}\cos x.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é de duas variáveis, x e y.
  • Deve-se encontrar \dfrac{\partial f}{\partial x} (derivada parcial em relação a x) e \dfrac{\partial f}{\partial y} (derivada parcial em relação a y).
  • Não há restrições adicionais nem imagens.

Passo 2

O que significa derivada parcial: ao calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} trata-se y como constante e diferencia-se em relação a x; ao calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} trata-se x como constante e diferencia-se em relação a y.
Notação e definição (forma intuitiva):
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}, \qquad \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.

Passo 3

Regras de diferenciação que vamos usar (lembrando de colocá-las de forma prática):
Produto de funções: se u(x,y) e v(x,y) são funções, então
\frac{\partial}{\partial x}(u v)=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Regra da cadeia (caso comum): se u(x,y)=e^{g(x,y)}, então
\frac{\partial u}{\partial x}=e^{g(x,y)}\cdot\frac{\partial g}{\partial x},
porque a derivada de e^{t} em relação a t é e^{t}.
No nosso problema temos um produto entre u(x,y)=e^{x y} e v(x)=\cos x. Observe que u depende de x e y, enquanto v depende só de x.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Aplicando a regra do produto com u(x,y)=e^{x y} e v(x)=\cos x:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x y}\big)\cdot\cos x + e^{x y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(\cos x\big).
Agora calculamos as derivadas parciais que aparecem:
  • Para \dfrac{\partial}{\partial x}\big(e^{x y}\big) usamos a regra da cadeia com g(x,y)=x y. Como g em relação a x tem derivada parcial \dfrac{\partial g}{\partial x}=y (pois y é tratado como constante), obtemos
\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x y}\big)=e^{x y}\cdot y.
  • Para \dfrac{\partial}{\partial x}\big(\cos x\big) sabemos a derivada usual de \cos: \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x. Como \cos x depende só de x, a derivada parcial é
\frac{\partial}{\partial x}\big(\cos x\big)=-\sin x.
Substituindo na regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial x}=\big(e^{x y}\cdot y\big)\cos x + e^{x y}\cdot\big(-\sin x\big).
Podemos fatorar e^{x y} para simplificar:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{x y}\big(y\cos x - \sin x\big).

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Agora tratamos x como constante. A função é f(x,y)=\big(e^{x y}\big)\cdot\cos x e \cos x é um fator constante em relação a y. Logo podemos usar a regra do produto mais simples (ou apenas fatorar \cos x):
Primeiro, derivative de e^{x y} em relação a y: para g(x,y)=x y, tem-se \dfrac{\partial g}{\partial y}=x (pois x é constante agora), então
\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x y}\big)=e^{x y}\cdot x.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=\big(e^{x y}\cdot x\big)\cos x.
Reescrevendo de forma mais compacta:
\frac{\partial f}{\partial y}=x e^{x y}\cos x.

Passo 6

Pequeno exemplo extra para fixar (se quiser praticar rápido): se g(x,y)=e^{2x y}\sin x, ao derivar em x usaríamos produto + cadeia exatamente do mesmo jeito; ao derivar em y \sin x seria constante e a derivada de e^{2xy} em y seria 2x e^{2xy}.
Força aí — você já tem a técnica: identificar fatores, tratar a variável não diferenciada como constante, aplicar produto e cadeia.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=e^{x y}\big(y\cos x-\sin x\big)\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x e^{x y}\cos x

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