Questão 31. Determine as derivadas parciais indicadas.
f(x, y)=x^{4} y{2}-x{3} y ; f_{x x x}, f_{x y x}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de terceira ordem de
f(x,y)=x^{4}y^{2}-x^{3}y
mais precisamente \,f_{xxx}\, e \,f_{xyx}\,.
Para isso vamos aplicar sucessivas diferenciações parciais, lembrando que ao derivar em relação a uma variável a outra é tratada como constante.

Passo 2

Derivando três vezes em x:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{4}y^{2}-x^{3}y\bigr) =4x^{3}y^{2}-3x^{2}y
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(4x^{3}y^{2}-3x^{2}y\bigr) =12x^{2}y^{2}-6xy
f_{xxx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(12x^{2}y^{2}-6xy\bigr) =24xy^{2}-6y

Passo 3

Agora a derivada mista na ordem x, depois y, depois x:
partimos de f_x=4x^{3}y^{2}-3x^{2}y e derivamos em y:
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^{3}y^{2}-3x^{2}y\bigr) =8x^{3}y-3x^{2}
em seguida derivamos em x:
f_{xyx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(8x^{3}y-3x^{2}\bigr) =24x^{2}y-6x

Resposta

f_{xxx}(x,y)=24xy^{2}-6y, \quad f_{xyx}(x,y)=24x^{2}y-6x.

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