Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função:
f(x, y)=x^{5}+4 x^{2} y^{2}+3 x y^{7}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y)=x^{5}+4x^{2}y^{2}+3xy^{7}.
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais, aplicando a regra do poder d(x^n)/dx=nx^{n-1} e a regra do produto quando necessário.

Passo 2

Vamos primeiro obter as derivadas parciais de primeira ordem, tratando uma variável por vez e mantendo a outra como constante.
Derivando em relação a x:
f_{x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{5}\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(4x^{2}y^{2}\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3xy^{7}\bigr) =5x^{4}+8xy^{2}+3y^{7}.
Derivando em relação a y:
f_{y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{5}\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^{2}y^{2}\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3xy^{7}\bigr) =0+8x^{2}y+21xy^{6}.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas segundas a partir de f_{x}.
Derivando f_{x} em relação a x:
f_{xx} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(5x^{4}+8xy^{2}+3y^{7}\bigr) =20x^{3}+8y^{2}+0 =20x^{3}+8y^{2}.
Derivando f_{x} em relação a y:
f_{xy} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(5x^{4}+8xy^{2}+3y^{7}\bigr) =0+16xy+21y^{6} =16xy+21y^{6}.

Passo 4

Em seguida, as derivadas segundas a partir de f_{y}.
Derivando f_{y} em relação a x:
f_{yx} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(8x^{2}y+21xy^{6}\bigr) =16xy+21y^{6}.
Derivando f_{y} em relação a y:
f_{yy} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(8x^{2}y+21xy^{6}\bigr) =8x^{2}+126xy^{5}.

Resposta

f_{x}=5x^{4}+8xy^{2}+3y^{7} f_{y}=8x^{2}y+21xy^{6} f_{xx}=20x^{3}+8y^{2} f_{xy}=16xy+21y^{6} f_{yx}=16xy+21y^{6} f_{yy}=8x^{2}+126xy^{5}

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