Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função:
f(x, y)=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem \displaystyle f_x e \displaystyle f_y
e de segunda ordem \displaystyle f_{xx}, \displaystyle f_{xy} (igual a \displaystyle f_{yx}) e \displaystyle f_{yy}
da função
f(x,y)=\frac{y}{x^2+y^2}.
Usaremos regra do produto, cadeia e quociente.

Passo 2

Para \displaystyle f_x, escrevemos
f(x,y)=y\,(x^2+y^2)^{-1}
e derivamos em x, tratando y como constante:
\frac{\partial f}{\partial x} = y\cdot(-1)\,(x^2+y^2)^{-2}\cdot 2x = -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 3

Para \displaystyle f_y, usamos a mesma escrita e derivamos em y, agora y é variável tanto no numerador quanto no denominador:
\frac{\partial f}{\partial y} = 1\cdot(x^2+y^2)^{-1} + y\cdot(-1)\,(x^2+y^2)^{-2}\cdot 2y = \frac{1}{x^2+y^2} - \frac{2y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 4

Para \displaystyle f_{xx}, derivamos \displaystyle f_x = -2x y\,(x^2+y^2)^{-2} em x:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -2y\bigl[(x^2+y^2)^{-2} + x\cdot(-2)(x^2+y^2)^{-3}\cdot2x\bigr] = \frac{2y\,(3x^2 - y^2)}{(x^2+y^2)^3}.

Passo 5

Para \displaystyle f_{xy}, derivamos \displaystyle f_x em y:
\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = -2x\bigl[(x^2+y^2)^{-2} + y\cdot(-2)(x^2+y^2)^{-3}\cdot2y\bigr] = -\frac{2x\,(x^2 - 3y^2)}{(x^2+y^2)^3}.

Passo 6

Para \displaystyle f_{yy}, derivamos \displaystyle f_y = \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2} em y usando quociente:
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{-2y\,(x^2+y^2)^2 - (x^2 - y^2)\,4y\,(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^4} = -\frac{2y\,(3x^2 - y^2)}{(x^2+y^2)^3}.

Resposta

f_x = -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}
f_y = \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}
f_{xx} = \frac{2y\,(3x^2 - y^2)}{(x^2+y^2)^3}
f_{xy} = -\frac{2x\,(x^2 - 3y^2)}{(x^2+y^2)^3}
f_{yy} = -\frac{2y\,(3x^2 - y^2)}{(x^2+y^2)^3}

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