Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função:
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
O que vamos usar:
– Para cada derivada parcial, tratamos a variável não envolvida como constante.
– Aplicamos a regra do produto quando derivamos em relação a (pois
é produto de
e
).
– Aplicamos a regra da cadeia ao derivar em relação a
.
– Para cada derivada parcial, tratamos a variável não envolvida como constante.
– Aplicamos a regra do produto quando derivamos em relação a
– Aplicamos a regra da cadeia ao derivar
Passo 2
Para calcular
, tratamos
como constante e derivamos
em relação a
. Como
é constante, fica
Passo 3
Para calcular
, tratamos
como constante e derivamos
em relação a
. Aqui usamos a regra da cadeia em
:
Multiplicando por
, obtemos
Passo 4
Agora as derivadas de segunda ordem. Primeiro
.
Como não depende de
, temos
Como
Passo 5
Em seguida
.
Derivando em relação a
(regra da cadeia), vem
Derivando
Passo 6
Pela comutatividade das derivadas mistas de Clairaut, ou calculando
,
derivando em relação a
, obtemos o mesmo resultado:
derivando
Passo 7
Finalmente
.
Como , aplicamos a regra da cadeia em
:
Como