Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função:
z=x e^{2 y}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
z = x\,e^{2y}.
O que vamos usar:
– Para cada derivada parcial, tratamos a variável não envolvida como constante.
– Aplicamos a regra do produto quando derivamos em relação a x (pois z é produto de x e e^{2y}).
– Aplicamos a regra da cadeia ao derivar e^{2y} em relação a y.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, tratamos y como constante e derivamos z = x\cdot e^{2y} em relação a x. Como e^{2y} é constante, fica
\frac{\partial z}{\partial x} = e^{2y}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}, tratamos x como constante e derivamos z = x\cdot e^{2y} em relação a y. Aqui usamos a regra da cadeia em e^{2y}:
\frac{d}{dy}e^{2y} = 2\,e^{2y}.
Multiplicando por x, obtemos
\frac{\partial z}{\partial y} = 2\,x\,e^{2y}.

Passo 4

Agora as derivadas de segunda ordem. Primeiro \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{\partial z}{\partial x}\Bigr).
Como \frac{\partial z}{\partial x}=e^{2y} não depende de x, temos
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 0.

Passo 5

Em seguida \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{\partial z}{\partial x}\Bigr).
Derivando e^{2y} em relação a y (regra da cadeia), vem
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = 2\,e^{2y}.

Passo 6

Pela comutatividade das derivadas mistas de Clairaut, ou calculando \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{\partial z}{\partial y}\Bigr),
derivando 2x\,e^{2y} em relação a x, obtemos o mesmo resultado:
\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} = 2\,e^{2y}.

Passo 7

Finalmente \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{\partial z}{\partial y}\Bigr).
Como \frac{\partial z}{\partial y}=2x\,e^{2y}, aplicamos a regra da cadeia em e^{2y}:
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2\,x\cdot 2\,e^{2y} = 4\,x\,e^{2y}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = e^{2y}, \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = 2\,x\,e^{2y}, \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 0, \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = 2\,e^{2y}, \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} = 2\,e^{2y}, \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 4\,x\,e^{2y}.

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