Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função:
f(x, y)=(y-2 x)^{3}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y) = (y - 2x)^3.
O conteúdo aqui é a regra da cadeia aplicada a uma função composta f(u)=u^3 com u=y-2x, além de derivar essa mesma expressão novamente para obter as segundas derivadas.

Passo 2

Definimos u = y - 2x, de modo que f(x,y) = u^3.
Pela regra da cadeia:
f_x = \frac{\partial f}{\partial u}\,\frac{\partial u}{\partial x} = 3u^2 \cdot (-2) = -6\,(y - 2x)^2,
f_y = \frac{\partial f}{\partial u}\,\frac{\partial u}{\partial y} = 3u^2 \cdot 1 = 3\,(y - 2x)^2.

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas por derivar novamente f_x e f_y.
Para f_{xx}:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl[-6\,(y - 2x)^2\bigr] = -6 \cdot 2\,(y - 2x)\cdot(-2) = 24\,(y - 2x).
Para f_{yy}:
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl[3\,(y - 2x)^2\bigr] = 3 \cdot 2\,(y - 2x)\cdot1 = 6\,(y - 2x).

Passo 4

Finalmente, a mista f_{xy} (que é igual a f_{yx} por teorema de Schwarz):
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl[-6\,(y - 2x)^2\bigr] = -6 \cdot 2\,(y - 2x)\cdot1 = -12\,(y - 2x).

Resposta

f_x(x,y) = -6\,(y - 2x)^2 f_y(x,y) = 3\,(y - 2x)^2 f_{xx}(x,y) = 24\,(y - 2x) f_{xy}(x,y) = f_{yx}(x,y) = -12\,(y - 2x) f_{yy}(x,y) = 6\,(y - 2x)

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