Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função:
.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
Aqui o conteúdo é cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia e, em seguida, montagem do Hessiano (matriz de segundas derivadas). Para simplificar, vamos chamar
Passo 2
Vamos achar primeiro
para
.
Aplicando a regra da cadeia a
Aplicando a regra da cadeia a
temos
Passo 3
Agora a segunda derivada em relação à mesma variável, ou seja
.
Partimos de .
Diferenciando em relação a :
Partimos de
Diferenciando em relação a
Mas
, logo
Passo 4
Por fim, as derivadas mistas
com
.
Começamos de e diferenciamos em relação a
:
Começamos de
Resposta
Para
: