Determine f_{x}(x, y) e f_{y}(x, y) nos casos abaixo:
f(x, y)=\int_{x}^{y} \ln (\operatorname{sen}(t)) d t.

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
f(x,y)=\int_{x}^{y}\ln\bigl(\sin(t)\bigr)\,dt
e pede as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y. O conteúdo principal aqui é a regra de Leibniz (ou Teorema Fundamental do Cálculo) para diferenciação de integrais com limites que dependem de variáveis.

Passo 2

Para achar \displaystyle f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\int_{x}^{y}\ln\bigl(\sin(t)\bigr)\,dt, aplicamos a regra de Leibniz: quando a variável x está no limite inferior, o sinal é negativo e avaliamos o integrando em t=x. Logo,
f_{x}(x,y)=-\,\ln\bigl(\sin(x)\bigr).

Passo 3

Para achar \displaystyle f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\int_{x}^{y}\ln\bigl(\sin(t)\bigr)\,dt, a variável y aparece no limite superior, então basta avaliar o integrando em t=y com sinal positivo:
f_{y}(x,y)=\ln\bigl(\sin(y)\bigr).

Resposta

f_{x}(x,y)=-\ln\bigl(\sin(x)\bigr) f_{y}(x,y)=\ln\bigl(\sin(y)\bigr)

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